Questão 42

AFA 2013

Física

(AFA - 2013) A figura 1 abaixo apresenta um sistema formado por dois pares de polias coaxiais, AB e CD, acoplados por meio de uma correia ideal e inextensível e que não desliza sobre as polias C e B, tendo respectivamente raios R_A=1 m, R_B = 2 m , R_C = 10 m e R_D = 0,5 m.

A polia A tem a forma de um cilindro no qual está enrolado um fio ideal e inextensível de comprimento L=10π m em uma única camada, como mostra a figura 2.

Num dado momento, a partir do repouso, o fio é puxado pela ponta P, por uma força F constante que imprime uma aceleração linear a, também constante, na periferia da polia A, até que o fio se solte por completo desta polia. A partir desse momento, a polia C gira até parar após n voltas, sob a ação de uma aceleração angular constante de tal forma que o gráfico da velocidade angular da polia D em função do tempo é apresentado na figura 3.

Nessas condições, o número total de voltas dadas pela polia A até parar e o módulo da aceleração a, em m/s², são, respectivamente,

5(n + 1), 5π

5n, 5π

2(n – 1), 3π

5n, π

Gabarito:

5(n + 1), 5π

Resolução:

A velocidade da correia é igual à velocidade tangencial nas extremidades das polias B e C:

$v_B=v_C$

Logo,

$omega_Bcdot R_B=omega_Ccdot R_C$

Mas as polias concêntricas têm a mesma velocidade angular, dessa forma, $omega_A=omega_B$ , assim:

$omega_Acdot R_B=omega_Ccdot R_C$

$omega_A=frac{R_C}{R_B}omega_C$

$omega_A=frac{10}{2}omega_C$

$omega_A=5omega_C$

Então, $Delta heta _A=5Delta heta_C$

Sendo n o número de voltas da polia C na fase de desaceleração, a polia A dará 5n voltas. Mas, precisamos contar o número de voltas da polia A enquanto ela está sendo desenrolada. Se o fio tem comprimento $L=10pi$ e a polia tem raio $R_A=1 m$ , ela dará $frac{L}{2pi R_A} = 5$ voltas nessa fase e, com isso, o número total de voltas será:

$n_A=5n+5$

$n_A=5(n+1)$

Para calcular a aceleração usamos a equação de Torricelli na polia A:

$v^2_A=v_{0A}^2+2aL$

Considerando $v_{0A} = 0$

$v^2_A=2aL$

$v_A=omega_Acdot R_A$

$(5omega_C)^2cdot R_A^2=2aL$

Isolando a:

$a=frac{(5omega_C)^2R_A^2}{2L}$

Mas $omega_D=omega_C$ , logo:

$a=frac{(5omega_D)^2R_A^2}{2L}$

$a=frac{25omega_D^2R_A^2}{2L} =frac{25cdot(2pi)^2cdot 1^2}{2cdot 10pi}$

$a=frac{25cdot4pi^2cdot 1}{20pi}$

$a=frac{100pi^2}{20pi} = 5pi$

Foi levado em consideração o fato de que $omega_D=2pi$ , que é a velocidade angular da polia D no momento em que o fio se solta por completo (indicado no gráfico).

Questão 42

AFA 2013

Questões relacionadas

Questão 41

Questão 3759

Questão 54

Questão 3896