Questão 11996

AFA 2013

Matemática

(EPCAR - 2013) Lucas e Mateus são apaixonados por futebol. Eles praticam futebol no quintal de casa, que é totalmente plano e possui uma rede de 3 m de altura.

Numa brincadeira, Mateus posiciona a bola a 4 m da rede e Lucas varia sua posição em lado oposto à rede, aproximando-se ou afastando-se dela, conservando uma mesma linha reta com a bola, perpendicular à rede.
Mateus lança a bola para Lucas, com um único toque na bola, até que ela atinja o chão, sem tocar a rede.

Considere um plano cartesiano em que:

— cada lançamento realizado por Mateus é descrito por uma trajetória parabólica;
— Lucas e o ponto de partida da bola estão no eixo $overrightarrow{OX}$ e
— a posição da bola é um ponto (x,y) desse plano, onde y = f(x) é a altura atingida pela bola, em metros, em relação ao chão.

Assinale, dentre as alternativas abaixo, aquela que tem a lei de uma função f que satisfaz às condições estabelecidas na brincadeira de Lucas e Mateus.

A

.

B

.

C

.

D

.

Gabarito:

.

Resolução:

(i) $f(p)=0$

• Note que p é a posição de Mateus e também é uma raiz da função. pois corta o eixo x.

(ii) p é a maior raiz (conforme gráfico)

(iii) $f(q)>3$ , pois a bola deve passar acima da rede

Sejam $x_1$ e $x_2$ raízes:

A. $f(x)=-frac{x^2}{8}+2$

$left{egin{matrix} x_1=4\ x_2=-4 end{matrix} ight.$

De (ii): $p=4$ . $p-q=4$ → $q=0$

Testando (iii): $f(0)=2$ → a bola bate na rede

Incorreta.

B. $f(x)=-frac{3x^2}{16}+3$

$left{egin{matrix} x_1=4\ x_2=-4 end{matrix} ight.$

De (ii): $p=4$ . $p-q=4$ → $q=0$

Testando (iii): $f(0)=3$ → a bola bate na rede

Incorreta.

C. $f(x)=-frac{x^2}{16}+frac{x+15}{4}$

$left{egin{matrix} x_1=-6\ x_2=10 end{matrix} ight.$

De (ii): $p=10$ . $p-q=4$ → $q=6$

Testando (iii): $f(6)=-frac{36}{16}+frac{6+15}{4}=-frac{9}{4}+frac{21}{4}=3$ → a bola bate na rede

Incorreta.

D. $f(x)=-0,1x^2+0,2x+4,8$

$left{egin{matrix} x_1=8\ x_2=-6 end{matrix} ight.$

De (ii): $p=8$ . $p-q=4$ → $q=4$

Testando (iii): $f(4)=-0,1cdot 16+0,2cdot 4+4,8=-1,6+0,8+4,8=4$ → a bola não bate na rede

Correta.

Alternativa correta é Letra D.

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