Questão 15

Matemática

(AFA - 2013) Uma piscina com ondas artificiais foi programada de modo que a altura da onda varie com o tempo de acordo com o modelo

$f(x)=3cdot sen(frac{pi}{2}+frac{pi x}{4})cdot sen(frac{pi x}{4})cdot sen(frac{pi x}{2})$

em que y =f(x) é a altura da onda, em metros, e x o tempo, em minutos.

Dentre as alternativas que seguem, assinale a única cuja conclusão NÃO condiz com o modelo proposto.

A altura de uma onda nunca atinge 2 metros.

Entre o momento de detecção de uma crista (altura máxima de uma onda) e o de outra seguinte, passam-se 2 minutos.

De zero a 4 minutos, podem ser observadas mais de duas cristas.

As alturas das ondas observadas com 30, 90, 150,... segundos são sempre iguais.

Gabarito:

De zero a 4 minutos, podem ser observadas mais de duas cristas.

Resolução:

$f(x)= 3 cdot sen (frac{pi}{2}+frac{pi cdot x}{4}) cdot sen(frac{pi cdot x}{4}) cdot sen(frac{pi cdot x}{2})$

$sen(frac{pi}{2}+frac{pi cdot x}{4})=sen(frac{pi}{2}-(-frac{pi cdot x}{4}))=cos(frac{-pi cdot x}{4})=cosfrac{pi cdot x}{4}$

Substituindo:

$f(x)=3cos(frac{pi cdot x}{4}) cdot sen(frac{pi cdot x}{4}) cdot sen(frac{pi cdot x}{2})$

Multiplicamos e dividimos por 2:

$f(x)=frac{3}{2} cdot 2cos(frac{pi cdot x}{4}) cdot sen(frac{pi cdot x}{4}) cdot sen(frac{pi cdot x}{2})$

Por propriedade de transformações:

$2cos(frac{pi cdot x}{4})sen(frac{pi cdot x}{4}) = sen(frac{pi cdot x}{2})$

Substituindo:

$f(x)= frac{3}{2} cdot sen(frac{pi cdot x}{2}) cdot sen(frac{pi cdot x}{2})$

$f(x)= frac{3}{2} cdot sen^2(frac{pi cdot x}{2})$

Podemos multiplicar e dividir por 2 novamente:

$f(x)= frac{3}{4} cdot 2sen^2(frac{pi cdot x}{2})$

Somamos e subtraimos $frac{3}{4}$ :

$f(x)= frac{3}{4} cdot 2sen^2(frac{pi cdot x}{2}) - frac{3}{4} + frac{3}{4}$

$f(x)= -frac{3}{4}cdot(1-2sen^2(frac{pi cdot x}{2})) + frac{3}{4}$

Por transformações:

$(1-2sen^2(frac{pi cdot x}{2})) = cos(pi x)$

$f(x)=-frac{3}{4}cos (pi x) + frac{3}{4}$

O periodo da função cosseno é $2pi$ , assim, o periodo dessa função será:

$T = frac{2 pi}{pi} = 2 min$

Em cada período temos uma crista e um vale, desse modo, em 4 min (2 períodos) teremos duas cristas no máximo.

GABARITO: C