Questão 11

AFA 2013

Matemática

(AFA - 2013) Dois corredores partem de um ponto ao mesmo tempo e se deslocam da seguinte forma: o primeiro é tal, que sua velocidade é dada em função da distância x por ele percorrida através de

em que n varia no conjunto dos números naturais não nulos.

O segundo é tal que sua velocidade é dada em função da distância x por ele percorrida através de .

Tais velocidades são marcadas em km/h, e as distâncias, em metros.

Assim sendo, ambos estarão à mesma velocidade após terem percorrido

800 m.

900 m.

1000 m.

1100 m.

Gabarito:

1000 m.

Resolução:

Até percorrer os primeiros 200 m, o corredor 1 mantém uma velocidade constante de 4 km/h

Para o corredor 2 ter essa mesma velocidade, ou seja, de 4 km/h, x deve ser igual à zero.

Após os 200 m inicias a velocidade de 1 é dada por:

$y_{1}=frac{n}{200}cdot x-frac{n^2+n-8}{2}$

E a velocidade de 2 é dada por:

$y_{2}=frac{x}{100}+4$

$\frac{nx}{200}-frac{n^2+n-8}{2}=frac{x}{100}+4\\\x(frac{n}{200}-frac{1}{100})=frac{n^2+n-8+8}{2}\\\x(frac{n-2}{200})=n(frac{n+1}{2})\\\x=frac{n(n+1)}{frac{n-2}{100}}=frac{100n(n+1)}{(n-2)}$

Mas, do enunciado, temos que $200n < x leq 200(n+1)$

Portanto:

$\200n<frac{100n(n+1)}{(n-2)}leq 200(n+1)\\\2n<frac{n(n+1)}{(n-2)}leq 2(n+1)$

Primeiro:

$\2n<frac{n(n+1)}{(n-2)}\\\2n-4<n+1;;;;; herefore n<5$

Segundo:

$\frac{n(n+1)}{(n-2)}leq 2(n+1)\\\nleq 2(n-2)\\\nleq 2n-4;;;;;;;;;; herefore ;;ngeq 4$

Ou seja, $4 leq n < 5$ , como n é um número natural, então n = 4

$x = frac{100n(n+1)}{(n-2)}=frac{100cdot 4cdot 5}{2}=1000;m$

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