Questão 9

AFA 2013

Matemática

(AFA - 2013) Sejam a e b dois números reais positivos.

As retas r e s se interceptam no ponto (a, b)

Se ∈ r e ∈ s, então uma equação para a reta t, que passa por (0, 0) e tem a tangente do ângulo agudo formado entre r e s como coeficiente angular, é

3abx + (2a² - b²)y = 0

3bx - b(a² + b²)y = 0

3ax -(a² + b²)y = 0

3abx - 2(a² + b²)y = 0

Gabarito: 3abx - 2(a² + b²)y = 0

Resolução:

Se ∈ r e ∈ s, então uma equação para a reta t, que passa por (0, 0) e tem a tangente do ângulo agudo formado entre r e s como coeficiente angular, é

1) Pontos $(a,b)$ e passam pela reta r.

$alpha x +eta=y$

$left{egin{matrix} a alpha +eta = b\ frac{a}{2}alpha+eta=0 end{matrix} ight.$

Subtraindo a primeira equação da segunda:

$alpha=frac{2b}{a}$

Substituindo esse valor em alguma das equações:

$eta=-b$

$r: ; y=frac{2b}{a}x-b$

2) Pontos $(a,b)$ e passam pela reta s.

$heta x +gamma=y$

$left{egin{matrix} a heta +gamma = b\ gamma=frac{b}{2} end{matrix} ight.$

Subtraindo a primeira equação da segunda:

$heta=frac{b}{2a}$

$s: ; y=frac{b}{2a}x+frac{b}{2}$

3) Coeficiente angular de r: $m_1=frac{2b}{a}$

Coeficiente angular de s: $m_2=frac{b}{2a}$

Coeficiente do ângulo entre essas duas retas:

$m=frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}$

$m=frac{frac{2b}{a}-frac{b}{2a}}{1+frac{2b}{a}cdot frac{b}{2a}}$

$m=frac{frac{4b-b}{2a}}{frac{2a^2+2b^2}{2a^2}}$

$m=frac{3b}{1} cdot frac{a}{2(a^2+b^2)}$

$m= frac{3ab}{2(a^2+b^2)}$

4) Se a reta t passa em (0,0), então é do tipo:

$t: ; y=mx$

$t: ; y=frac{3abx}{2(a^2+b^2)}$

$3abx-2(a^2+b^2)y=0$

Alternativa correta é Letra D.

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