Questão 2

AFA 2013

Matemática

(AFA - 2013) Considerando os números complexos z₁ e z₂, tais que:

z₁ é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante
z₂ é raiz da equação x⁴ + x² - 12 = 0 e Im(z₂) > 0

Pode-se afirmar que é igual a

Gabarito:

Resolução:

1) $8i=8cdot cis(frac{pi}{2})$

$z_1=8^{frac{1}{3}}cdot cis(frac{pi}{2}cdot frac{1}{3}+frac{2kpi}{3})$

$z_1=2cdot cis(frac{pi}{6}+frac{2kpi}{3})$

$z_1=2cdot cis(frac{5pi}{6})$

2) $x^4+x^2-12=0$ → vamos fazer a substituição $y=x^2$

$y^2+y-12=0$

$Delta = 1-4(-12)=49$

$y=frac{-1pm7}{2}$

$y=-4$ → $x^2=-4$ , $x=pm2i$

$y=3$ → $x^2=3$ , $x=sqrt{3}$

• Como $Im(z_2)>0$ : $z_2=2i$ .

3) $|z_1+z_2|=|2cos(frac{5pi}{6})+2sen(frac{5pi}{6})+2i|$

$|z_1+z_2|=|-sqrt{3}+i+2i|$

$|z_1+z_2|=|-sqrt{3}+3i|$

$|z_1+z_2|=sqrt{3+3^2}=sqrt{12}=2sqrt{3}$

Alternativa correta é Letra A.

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