Questão 4

AFA 2013

Matemática

(AFA - 2013) As raízes da equação algébrica $2x^3 - ax^2 + bx + 54 = 0$ formam uma progressão geométrica.

Se $mathrm{ a, b} in mathbb{R}, mathrm{b eq 0}$ , então é igual a

Gabarito:

Resolução:

Raízes: $r$ , $rq$ e $rq^2$

Soma das raízes:

$r+rq+rq^2=frac{a}{2}$

$r(1+q+q^2)=frac{a}{2}$

$r=frac{a}{2(1+q+q^2)}$

Produto das raízes:

$r cdot rq cdot rq^2=-frac{54}{2}=-27$

$r^3q^3=-27$

$rq=-3$

$frac{aq}{2(1+q+q^2)}=-3$

$a=-frac{6(1+q+q^2)}{q}$

Soma dos produtos dois a dois: $r^2q+r^2q^2+r^2q^3=frac{b}{2}$

$frac{b}{2}=r^2q(1+q+q^2)$

$b=left ( frac{a}{2(1+q+q^2)} ight )^2 cdot 2q(1+q+q^2)$

$b=frac{a^2cdot 2q}{4(1+q+q^2)}$

$b=left ( frac{36(1+q+q^2)^2}{q^2} ight ) cdot frac{2q}{4(1+q+q^2)}$

$b=frac{36cdot 2 cdot (1+q+q^2)}{4q}$

Razão $frac{a}{b}$ :

$frac{a}{b}=frac{-frac{6(1+q+q^2)}{q}}{frac{36cdot 2 cdot (1+q+q^2)}{4q}}$

$frac{a}{b}=-frac{6}{q} cdot frac{4q}{72}$

$frac{a}{b}=-frac{4}{12}$

$frac{a}{b}=-frac{1}{3}$

Alternativa correta é Letra D.

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