Questão 22

AFA 2019

Matemática

(AFA - 2019)

Considere no plano cartesiano os pontos A ( 2,0 ) e B(6,− 4 ) que são simétricos em relação à reta r. Se essa reta r determina na circunferência $x^2 + y^2 - 12x-4y+32=0$ uma corda que mede n unidades de comprimento, então n pertence ao intervalo

[4,5[

[3,4[

[2,3[

[1,2[

Gabarito:

[4,5[

Resolução:

Primeiramente analisemos a equação da circunferência $x^2 + y^2 - 12x-4y+32=0$ :

$x^2 - 12x + y^2 - 4y+32=0$ , completando as equações quadráticas de $x^2 - 12x$ e $y^2 - 4y$ :

1. $x^2 - 12x=x^2-2cdot xcdot6$ , o segundo termo da expressão quadrática pode ser $6$ , daí:

$x^2 - 12x=x^2-2cdot xcdot6=x^2-2cdot xcdot6+6^2-6^2=left(x^2-2cdot xcdot6 + 6^2 ight )-6^2$ , o termo entre parêntesis se torna:

$x^2-2cdot xcdot6 + 6^2 =left(x-6 ight )^2$ , logo $x^2 - 12x=left(x-6 ight)^2-6^2=left(x-6 ight)^2-36$ .

2. Fazendo o mesmo processo de "1." para $y^2 - 4y$ :

$y^2 - 4y=y^2-2cdot ycdot2=y^2-2cdot ycdot2+2^2-2^2=left(y^2-4y+4 ight )-4Rightarrow$

$Rightarrow y^2-4y=left(y-2 ight )^2-4$ .

Somando $x^2 - 12x$ e $y^2 - 4y$ modificado como acima na expressão da circunferência:

$x^2 + y^2 - 12x-4y+32=left(x^2-12x ight )+left(y^2-4y ight )+32=0Rightarrow$

$Rightarrowleft[left(x-6 ight )^2-36 ight ]+left[left(y-2 ight )^2-4 ight ]+32=left(x-6 ight )^2+left(y-2 ight )^2=8$

Com esta última equação acima é fácil ver que a equação do enunciado representa uma circunferência de raio $2sqrt{2}$ e centro no ponto $left(6,2 ight )$ .

Agora desenhemos o sistema de coordenadas com os objetos citados no enunciado:

Onde a corda referenciada no enunciado é o segmento CD.

O ponto médio de AB é M:

$M=frac{A+B}{2}=frac{left(2,0 ight )+left(6,-4 ight )}{2}=left(4,-2 ight )$

A reta que liga A a B possui coeficiente angular facilmente calculado por:

$tgleft(r_{AB} ight )=m_{AB}=frac{left(-4-0 ight )}{left(6-2 ight )}=-1$

Como sabemos, a reta $r$ é perpendicular à reta que liga A a B, então, pelas propriedades de retas perpendiculares, temos:

$m_{r}cdot m_{AB}=-1Rightarrow m_{r}cdotleft(-1 ight )=-1Rightarrow m_{r}=1$ .

Com isto podemos calcular a equação da reta $r$ :

$m_{r}=frac{y-y_0}{x-x_0}$ , fazendo $left(x_0,y_0 ight )$ sendo o ponto M, então: $m_{r}=frac{y-left(-2 ight )}{x-4}=frac{y+2}{x-4}=1Rightarrow x-4=y+2Rightarrow x-y-6=0$ .

Agora precisamos calcular os pontos de intersecção entre a reta $r$ e a circunferência obtida anteriormente:

$x-y-6=0Rightarrow y=x-6$ , substituindo esse valor de y na equação da circunferência:

$left(x-6 ight )^2+left(y-2 ight )^2=8Rightarrow left(x-6 ight )^2+left(x-6-2 ight )^2=8Rightarrow$

$Rightarrow x^2-12x+36+x^2-16x+64=2x^2-28x+100=8Rightarrow x^2-14x+46=0$

As raízes desta equação final, por Bháskara, é:

$x=frac{14pmsqrt{196-184}}{2}=frac{14pmsqrt{12}}{2}=frac{2cdotleft(7pmsqrt{3} ight )}{2}=7pmsqrt{3}$ .

Logo,

Se $x=7+sqrt{3}$ , $y=x-6=7+sqrt{3}-6=1+sqrt{3}$ ;

Se $x=7-sqrt{3}$ , $y=x-6=7-sqrt{3}-6=1-sqrt{3}$ .

A corda CD possui, como dito no enunciado, comprimento $n$ que é dado pela expressão:

$n=sqrt{left(x_C-x_D ight )^2+left(y_C-y_D ight )^2}$ , fazendo $C=left(7+sqrt{3},1+sqrt{3} ight )$ e $D=left(7-sqrt{3},1-sqrt{3} ight )$ , temos:

$n=sqrt{left(7+sqrt{3}-7+sqrt{3} ight )^2+left(1+sqrt{3}-1+sqrt{3} ight )^2}=sqrt{left(2sqrt{3} ight )^2+left(2sqrt{3} ight )^2}Rightarrow$

$Rightarrow n=sqrt{2cdotleft(2sqrt{3} ight )^2}=2sqrt{3}cdotsqrt{2}=2sqrt{6}$ .

Facilmente se vê que, como $sqrt{6}$ é maior que $sqrt{4}$ , ou seja, maior que 2, e menor que $sqrt{9}$ , ou seja, menor que 3, então, $sqrt{6}$ está entre 2 e 3 implicando que $2sqrt{6}$ está entre 4 e 6.