Questão 32

AFA 2019

Matemática

(AFA - 2019)

Um objeto de decoração foi elaborado a partir de sólidos utilizados na rotina de estudos de um estudante de matemática.

Inicialmente, partiu-se de um cubo sólido de volume igual a 19683 cm³

Do interior desse cubo, retirou-se, sem perda de material, um sólido formado por dois troncos de pirâmide idênticos e um prisma reto, como mostra o esquema da figura a seguir.

Sabe-se que:

• as bases maiores dos troncos estão contidas em faces opostas do cubo;

• as bases dos troncos são quadradas;

• a diagonal da base maior de cada tronco está contida na diagonal da face do cubo que a contém e mede a sua terça parte;

• a diagonal da base menor de cada tronco mede a terça parte da diagonal da base maior do tronco; e

• os troncos e o prisma têm alturas iguais.

Assim, o volume do objeto de decoração obtido da diferença entre o volume do cubo e o volume do sólido esquematizado na figura acima, em cm3 , é um número do intervalo

[17200, 17800]

]17800, 18400]

]18400, 19000]

]19000, 19600]

Gabarito:

]18400, 19000]

Resolução:

Quanto ao cubo de volume $V=19683,,cm^3$ :

a aresta do cubo é $a$

Quanto aos troncos de pirâmide:

a aresta da base menor é $b$
a aresta da base maior é $B$
a altura é $h$

Quanto ao prisma:

a altura é $h$

Quanto às informações concedidas, em ordem:

"as bases maiores dos troncos estão contidas em faces opostas do cubo": então a altura deste sólido inteiro é igual a altura do cubo que é $a$ .
"as bases dos troncos são quadradas", então as arestas $B$ e $b$ servem pra descrever o comprimento de todas as arestas da base.
"a diagonal da base maior de cada tronco está contida na diagonal da face do cubo que a contém e mede a sua terça parte", como as arestas da base maior de cada tronco é $B$ e, portanto, a diagonal destas bases é $Bsqrt{2}$ , então podemos escrever $Bsqrt{2}=frac{asqrt{2}}{3}Rightarrow B=frac{a}{3}$ .
"a diagonal da base menor de cada tronco mede a terça parte da diagonal da base maior do tronco", desta forma, $bsqrt{2}=frac{Bsqrt{2}}{3}Rightarrow b=frac{B}{3}=frac{a}{9}$ .
"os troncos e o prisma têm alturas iguais", então, $3h=aRightarrow h=frac{a}{3}$ .

O volume do sólido é a soma do volume do tronco de pirâmide e do volume do prisma:

Volume do tronco de pirâmide: $V_{tronco}=frac{hcdotleft(A_B+A_b+sqrt{A_Bcdot A_b} ight )}{3}=V_{tronco}=frac{hcdotleft(B^2+b^2 +sqrt{B^2cdot b^2} ight )}{3}=frac{a}{9}cdotleft(frac{a^2}{81} +frac{a^2}{9} +frac{a^2}{27} ight )=frac{13a^3}{729}$