Questão 27

AFA 2019

Matemática

(AFA - 2019)

Considere o sistema abaixo

$left{egin{matrix} frac {1}{a^2} + frac {2}{b^2} + frac {1}{c^2}=9\ frac {2}{a^2} + frac {1}{b^2} - frac {1}{c^2} =3 \ frac {3}{a^2} - frac {1}{b^2} - frac {2}{c^2} = -4 end{matrix} ight.$

Sabendo-se que a , b e c são números reais não nulos, é INCORRETO afirmar que

$|a| + |b| + |c| epsilon (mathbb{I}mathbb{R} - mathbb{Q})$

$a^2 + b^2 + c^2 > 2$

O determinante da matriz $egin{bmatrix} a^2 &1 &sqrt{3} \ 0& b^2 &4 \ 0 & 0 & c^2 end{bmatrix}$ é igual a $frac {1}{6}$

$frac {1}{a^2} + frac {1}{b^2} + frac {1}{c^2}$ é par.

Gabarito:

$a^2 + b^2 + c^2 > 2$

Resolução:

Façamos alteração de variáveis:

$x=frac{1}{a^2}$ , $y=frac{1}{b^2}$ e $z=frac{1}{c^2}$ , podemos reescrever o sistema como:

$left{egin{matrix} x+2y+z=9\ 2x+y-z=3\ 3x-y-2z=-4 end{matrix} ight.$

Somando as duas primeiras equações e subtraindo este resultado com a terceira equação, obtemos:

$3y-left(-y-2z ight )=16Rightarrow 3y+y+2z=4y+2z=16$

Multiplicando a primeira equação por dois e subtraindo este resultado com a segunda equação, obtemos:

$4y+2z-left(y-z ight )=18-3=15Rightarrow 3y+3z=15Rightarrow y+z=5$

Com este último resultado e com o resultado anterior:

$z=5-y$ substituindo em $4y+2z=16$ :

$4y+2z=16Rightarrow 4y+2cdotleft(5-y ight )=16Rightarrow 2y+5-y=8Rightarrow y+5=8Rightarrow$

$Rightarrow y=3$ .

Assim, $z=5-yRightarrow z = 5-3=2$ .

Substituindo estes valores na primeira equação é possível obter $x=1$ .

Assim,

$x=frac{1}{a^2}=1Rightarrow a^2=1Rightarrow a=pmsqrt{1}$

$y=frac{1}{b^2}=3Rightarrow b^2=frac{1}{3}Rightarrow b=pmfrac{sqrt{3}}{3}$

$z=frac{1}{c^2}=2Rightarrow c^2=frac{1}{2}Rightarrow c=frac{pmsqrt{2}}{2}$

Análise das alternativas:

Letra a: os módulos destes valores são em função das raízes quadradas de 2 e 3, que são números irracionais. Logo, é verdadeiro afirmar que $|a| + |b| + |c| in (mathbb{I}mathbb{R} - mathbb{Q})$ .

Letra b: $a^2+b^2+c^2=1+frac{1}{3}+frac{1}{2}=frac{11}{6}$ que é menor que 2. Logo, esta alternativa é falsa.

Letra c: a determinante desta matriz é a multiplicação dos elementos da diagonal, então determinante dessa matriz é $a^2cdot b^2cdot c^2=frac{1}{6}$ . Logo, esta alternativa é verdadeira.

Letra d: $frac {1}{a^2} + frac {1}{b^2} + frac {1}{c^2}$ é o mesmo que somar $x+y+z=1+3+2=6$ que é par. Logo, esta alternativa é verdadeira.

A alternativa correta é, portanto, a Letra B.

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