Questão 29

AFA 2019

Matemática

(AFA - 2019)

Considere as matrizes

$A = egin{bmatrix} sen x &-1 \ -1 & senx end{bmatrix}$ e $B = egin{bmatrix} senx & senx \ 1 & -3 end{bmatrix}$

Se o determinante do produto matricial AB é um número real positivo ou nulo, então os valores de x , no ciclo trigonométrico, que satisfazem essa condição estão representados em

Gabarito:

Resolução:

Primeiramente,

$detleft(Acdot B ight )=detleft(A ight )cdot detleft(B ight )=left(sen^2x-1 ight )cdotleft(-4senx ight )=4senxcdotleft(1-sen^2x ight )$ .

Como sabemos, $cos^2x=1-sen^2x$ , então:

$detleft(Acdot B ight )=4senxcdot cos^2x$

Como esse determinante assume somente valores positivos ou nulos, então:

$detleft(Acdot B ight )=4senxcdot cos^2xgeq0$ , como para qualquer x real possível $cos^2x>0$ , então é necessário que $4senxgeq0$ :

$4senxgeq0Rightarrow senxgeq0Rightarrow xinleft[0,pi ight ]$ .

Se $cos^2x$ assumir valor nulo, ou seja, $cos^2x=0$ , então, $x=frac{pi}{2}$ ou $x=frac{3pi}{2}$ e a expressão é $detleft(Acdot B ight )geq0$ satisfeita.

Logo, analisando as figuras das alternativas, é possível afirmar que a alternativa correta é a Letra B.

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