Questão 30
AFA 2019
(AFA - 2019)
Considere no plano cartesiano abaixo representadas as funções reais :f ] m, − m ] → IR e g :[ m, − m [− {v }→ IR
Nas afirmativas abaixo, escreva V para verdadeira e F para falsa.
( ) O conjunto imagem da função g é dado por Im(g) = ] ,p − m ]
( ) A função h definida por h(x) = f(x)⋅g(x) assume valores não negativos somente se x ∈[ ,t b ] U [ ,r 0 ]
( ) A função j definida por j(x) = g(x) − p é maior que zero para todo x ∈ ([m, − m [− {v })
A sequência correta é
F – F – V
F – V – V
V – V – F
V – F – F
Gabarito:
F – F – V
Resolução:
Análise por proposições:
I. Todo elemento do intervalo ]p, -m] - {j} é imagem de algum elemento do domínio. Então, esta proposição é falsa.
II. Multiplicando os valores de f(x) e g(x) para diferentes valores de x, podemos ver que os únicos intervalos em que h(x) é positiva são os que as curvas de f e g estão em um mesmo lado referente ao eixo das abscissas, logo os intervalos possíveis para que h seja não negativo são [t,b] ou [r,0] ou [-n,v]. Então, esta proposição é falsa.
III. A função j(x) apenas desloca o gráfico da função g(x) em -p unidades para cima, ou seja, para g(0) = -p, por exemplo, j(0) = -2p, g(m) = -m, então j(m) = -m - p e g(-m+dx) = p-dy, então j(-m+dx) = p-dy - p = -dy, onde dx e dy são intervalos muito pequenos, tendendo a zero (isto porque -m não está no domínio de g, nem de j).
O intervalo citado na proposição é o mesmo intervalo total do domínio de g. Como visto acima, o menor valor de g era para quando a abscissa assumisse valores próximos de -m. Fazendo a transformação de j, é fácil ver que, da mesma forma como em g, o menor valor de j é para quando a abscissa assumisse valores próximos de -m e, como visto acima, j(-m+dx) = -dy que já um valor acima de zero.
Logo, a função j é maior que zero para o intervalo da proposição. Esta proposição, portanto, é verdadeira.
A alternativa correta é, portanto, a Letra A.