Questão 4

AFA 2021

Matemática

(AFA - 2021 - Modelo C - Questão 20)

No gráfico, $ar{MN} = 2$ e a curva representa a função $f(x) =-2 log_{[frac{1}{3}]}x$

No polígono ABCD, a soma $ar{AB} + ar{BC} + ar{CD} + ar{DA}$ , em unidade de medida, é igual a

A

$12 + 2(sqrt{10} + sqrt{2})$

B

$12 + sqrt{10} + sqrt{2}$

C

$2(6 + 2sqrt{10} + sqrt2)$

D

$10 + sqrt{10} + 2sqrt{2}$

Gabarito:

$12 + 2(sqrt{10} + sqrt{2})$

Resolução:

Digamos que

$M = b$

então

$N = b+2$

já que

$ar{MN} = 2$

Então os pontos $(frac{a}{2}, b)$ e $(2a - 3,b + 2)$ são pontos da curva f(x).

Para $(frac{a}{2}, b)$ em f(x):

$f(frac{a}{2}) = -2log_{frac{1}{3}}frac{a}{2} = b$

$2log_{3}frac{a}{2} = b$

$3^{frac{b}{2}} = frac{a}{2}$

$a = 2cdot 3^{frac{b}{2}}$

Para $(2a - 3,b + 2)$ em f(x):

$f(2a-3) = -log_{frac{1}{3}}(2a-3) = 2cdot log_{3} (2a-3) = b+2$

então

$3^{frac{b+2}{2}} = 2a-3$

mas como

$a = 2cdot 3^{frac{b}{2}}$

então

$3^{frac{b}{2}}cdot 3 = 4cdot3^{frac{b}{2}}-3$

$3^{frac{b}{2}} = 3$

$b = 2$

Se b=2, então

$a = 2cdot 3^{frac{b}{2}} = 2cdot 3^{frac{2}{2}} = 2cdot 3^{1} = 6$

$a = 6$

• O ponto A é um ponto do eixo x, logo y_A = 0 ⇒ f(x_A) = 0, onde A = (x_A, y_A).

$f(x_{A}) = -2cdot log_{frac{1}{3}}x_{A} = 0$

$x_{A} = 1$

Logo,

$A = (1,0)$

• O ponto B é

$B = (frac{a}{2},b)$

$B = (3,2)$

• O ponto C é

$C = (2a-3,b+2)$

$C = (9,4)$

• O ponto D é, também em eixo x, logo

$y_{D} = 0$

para

$D = (x_{D},y_{D})$

Dai,

$D = (2a-3,0) = (9,0)$

Assim

$ar{AB} = sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} = 2sqrt{2}$

$ar{BC} = sqrt{(x_{C}-x_{B})^{2}+(y_{C}-y_{B})^{2}} = 2sqrt{10}$

$ar{CD} = 4$

e

$ar{DA} = 2a-3-1=8$

A soma é

$ar{AB}+ar{BC}+ar{CD}+ar{DA} = 8+4+2sqrt{10}+2sqrt{2}$

$SOMA = 12+2(sqrt{2}+sqrt{10})$

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