Questão 8

AFA 2021

Matemática

(AFA - 2021 - Modelo C - Questão 24)

Considere no plano de Argand Gauss os números complexos $z = A(cos alpha + i sen alpha )$ e $w = B(cos eta + i sen eta )$ conforme gráfico abaixo.

Se w = z⁴, então B é igual a

$12 sqrt3$

144

$144 sqrt3$

Gabarito:

144

Resolução:

$Z = A(cosalpha +icdot senalpha)$

$W = B (coseta + icdot seneta)$

Pelo gráfico:

$Z = -3+isqrt3$

$|Z| = sqrt{(-3)^{2}+(sqrt 3)^{2}}$

$|Z| = sqrt{12}$

$A = sqrt{12}$

Temos:

$cosalpha = frac{-3}{sqrt {12}} herefore cosalpha = -frac{sqrt{3}}{2}$

$senalpha = frac{sqrt{3}}{sqrt {12}} herefore senalpha =frac{1}{2}$

Logo

$z = sqrt{12}(frac{-sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}i)$

$z = 2sqrt {3}cisfrac{5pi}{6}$

$w = z^{4} herefore w=(2sqrt{3})^{4}.cis(frac{ciscdot 5pi}{6})$

$w = 16cdot 9cdot cis(frac{10pi}{3})$

$w =144cdot cis(frac{4pi}{3})$

Portanto, B = 144.

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