Questão 9

AFA 2021

Matemática

(AFA - 2021 - Modelo C - Questão 25)

O polinômio de raízes reais distintas e coeficientes reais, P(x) = 6x³ + mx² - 18x + n, é divisível por (x - α) e possui duas raízes simétricas.

Se P(P(α)) = 9, então P(1) é igual a

- 9

- 6

- 3

Gabarito:

- 6

Resolução:

$P(x)=6x^3+mx^2-18x+n$

$(x-alpha )$ é divisível por $P(x)$ , portanto:

$P(alpha )=0$

Como há duas raízes que são simétricas, podemos chamá-las de $j$ e $-j$

E podemos reescrever $P(x)$ , como sendo:

$P(x)=6cdot left ( x-alpha ight )cdot left ( x+j ight )cdot left ( x-j ight )$

Guarde essa informação.

Vamos utilizar da seguinte análise agora:

$P(j)=0$

$P(-j)=0$ , logo:

$P(-j)=P(j)$

Logo, sendo $P(x)=6x^3+mx^2-18x+n$ , vem:

$6j^3+mj^2-18j+n=-6j^3+mj^2+18j+n$

$12j^3=36j$

$j^2=3$

$j=sqrt{3}$

Então podemos escrever $P(x)$ como:

$P(x)=6cdot left ( x-alpha ight )cdot left ( x+sqrt{3} ight )cdot left ( x-sqrt{3} ight )$

E sendo $Pleft (P(alpha ) ight )=9$ , e sendo $P(alpha )=0$ , vem:

$P(0)=9$

$P(0)=6cdot left (0-alpha ight )cdot left ( 0+sqrt{3} ight )cdot left ( 0-sqrt{3} ight )=9$

$18alpha =9$

$alpha =frac{1}{2}$

Daí vem que:

$P(x)=6cdot left ( x-frac{1}{2} ight )cdot left ( x+sqrt{3} ight )cdot left ( x-sqrt{3} ight )$

E como é pedido $P(1)$ , vem:

$P(1)=6cdot left ( 1-frac{1}{2} ight )cdot left ( 1+sqrt{3} ight )cdot left ( 1-sqrt{3} ight )$

$P(1)=6cdot left ( frac{1}{2} ight )cdot left ( 1-3 ight )$

$P(1)=6cdot left ( frac{1}{2} ight )cdot left ( -2 ight )$

$P(1)=-6$

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