Questão 15

AFA 2021

Matemática

(AFA - 2021 - Modelo C - Questão 31)

Considere as funções f: IR^* → IR - {2} e g: IR^* → IR - {2} definidas por $f(x) = 2 + frac{1}{2x}$ e $g(x) = x + 2$ e, também, a função real h definida por $h(x) = f^{-1}(g(x))$ .

É correto afirmar que

a função h é par.

h(1) = 2

a função h NÃO é injetora.

$h(x) = -2$ ⇔ $x = - frac{1}{4}$

Gabarito:

$h(x) = -2$ ⇔ $x = - frac{1}{4}$

Resolução:

$f: mathbb{R}^* ightarrow mathbb{R}-{2}$

$g: mathbb{R}^* ightarrow mathbb{R}-{2}$

Sendo $f(x)=2+ frac{1}{2x}$ e $g(x)=x+2$

Primeiramente obtem-se $f^{-1}(x)$

$x=2+frac{1}{2cdot f^{-1}(x)}$

$x-2=frac{1}{2cdot f^{-1}(x)}$

$f^{-1}(x)=frac{1}{2cdot (x-2)}$

Fazendo

$f^{-1}(g(x))=frac{1}{2cdot [(x+2)-2]}$

$f^{-1}(g(x))=frac{1}{2x}$

$h(x)=frac{1}{2x}$

a) Falso, pois $h(x)=frac{1}{2x}$ e $h(-x)=-frac{1}{2x}$ , portanto $h(-x) eq h(x)$

b) Falso, pois $h(1)=frac{1}{2}$

c) Analisando a injeção

se $h(x_1)=h(x_2) ightarrow x_1=x_2$

$frac{1}{2x_1}=frac{1}{2x_2} ightarrow x_1=x_2$

Assim h é injetora

d) Verdadeira, pois

se $h(x)=-2 ightarrow -2=frac{1}{2x} ightarrow x=-frac{1}{4}$

se $x=-frac{1}{4} ightarrow hleft ( -frac{1}{4} ight )=frac{1}{2left ( -frac{1}{4} ight )} ightarrow hleft ( -frac{1}{4} ight )=-2$

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