Questão 60845

AFA 2021

Matemática

(AFA - 2014) Considere no plano complexo, o conjunto dos números $z = x + yi ; {x,y}subset mathbb{R}$ e $i^2 = -1$ que satisfazem a condição $left | z ight | geq left | 2z + 1 ight |$

É FALSO afirmar que:

este conjunto pode ser representado por um círculo de raio igual a $frac{1}{3}$

z = -1 é o elemento de maior módulo, neste conjunto.

z = $-frac{1}{3}$ é o elemento de maior argumento, neste conjunto.

não existe z, neste conjunto, que seja imaginário puro.

Gabarito:

z = $-frac{1}{3}$ é o elemento de maior argumento, neste conjunto.

Resolução:

Para o número z=x+yi, temos:

$z=(x,y)$

$2z=(2x,2y)$

$2z+1=(2x+1,2y)$

Calculando:

$left | z ight | geq left | 2z + 1 ight |$

$sqrt{x^2+y^2}geq sqrt{(2x+1)^2+(2y)^2}$

$x^2+y^2geq 4x^2+4x+1+4y^2$

$-1geq 3x^2+4x+3y^2$

$frac{-1}{3}geq x^2+frac{4}{3}x+y^2$

Completando quadrado:

$frac{-1}{3}+frac{4}{9}geq x^2+2cdotfrac{2}{3}x+frac{4}{9}+y^2$

$frac{1}{9}geq (x+frac{2}{3})^2+y^2$

Fazendo o gráfico disso temos um círculo de raio 1/3 e centro no ponto (-2/3;0):

Agora vamos analisar as alternativas:

A- Verdadeiro, como demonstrado pelo gráfico acima, devido a se tratar de uma inequação nós obtemos um círculo.

B- Verdadeiro, o maior módulo (maior distância até origem) é sim o ponto z=1, que tem módulo 1.

C- Falso, existem infinitos pontos em cima da circunferência (borda do círculo) contido no terceiro quadrante do plano imaginário que tem argumento maior.

D- Verdadeiro, os números imaginários puros se encontram sob o eixo imaginário, eixo y.

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