Questão 69773

AFA 2021

Matemática

(EPCAR 2022) Se $Y=frac{x^frac{3}{2}+x-x^frac{1}{2}-1}{x+2sqrt{x}+1}$ , com $xgeq 0$ e $x eq 1$ , então Y é igual a

$x^frac{3}{2}-x^frac{1}{2}$

$x-1$

$x^frac{3}{2}-1$

$x^frac{1}{2}-1$

Gabarito:

$x^frac{1}{2}-1$

Resolução:

Primeiro, podemos reescrever a equação apenas com frações como expoentes ou raizes:

$Y=frac{x^frac{3}{2}+x-x^frac{1}{2}-1}{x+2sqrt{x}+1}$

$Y=frac{x^frac{3}{2}+x-x^frac{1}{2}-1}{x+2x^{frac{1}{2}}+1}$

Para ajudar nas simplificações, podemos chamar $x^{frac{1}{2}}=k$ , de forma que:

$x^{frac{3}{2}}=k^3$

$x=k^2$

Assim, a expressão se torna:

$Y=frac{k^3+k^2-k-1}{k^2+2k+1}$

Podemos ver um produto notavel no denominador, no numerador, podemos alterar a ordem da expressão para que seja mais fácil colocá-la em evidência:

$Y=frac{k^3-k+k^2-1}{(k+1)^2}$

$Y=frac{k(k^2-1)+k^2-1}{(k+1)^2}$

Agora, colocando k²-1 em evidência no numerador:

$Y=frac{(k^2-1)(k+1)}{(k+1)^2}$

Cortando:

$Y=frac{(k^2-1)}{(k+1)}$

Podemos ver outro produto notavel no numerador:

$Y=frac{(k+1)(k-1)}{(k+1)}$

Cortando:

$Y=(k-1)$

Como sabemos que $k = x^{frac{1}{2}}$

$Y=x^{frac{1}{2}}-1$

Alternativa D.

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