Questão 12170

CEFET-MG 2013

Matemática

(Cefet MG 2013) Considere a função f : A IR definida por

$f(x)=detegin{bmatrix} 0 & -cos(x) & 0 \ 0 & -3 & 1\ cos(x+frac{pi }{2}) & tgx & sen2x end{bmatrix}$

Pode-se afirmar corretamente que a função f

intercepta o eixo y em x = π .

é periódica com período p = 2π .

assume valor máximo em .

possui imagem igual a Im f = [–1,1].

possui domínio A = {x ∈ IR / x ≠ kπ e k ∈ ).

Gabarito:

assume valor máximo em .

Resolução:

$cos (x+frac{pi}{2})=-sin x$

Vamos calcular o determinante utilizando a regra de Sarrus:

$egin{vmatrix} 0 &-cos x &0 \ 0 &-3 & 1\ cos (x+frac{pi}{2}) & an x &sin 2x end{vmatrix}=-cos xcdot cos (x+frac{pi}{2})$

$extrm{Portanto,;f(x)};=;sin xcdot cos x$

$\ extrm{Vamos;multiplicar;em;cima;e;embaixo;por;2;a;fim;de;obter;arco;duplo}\\f(x)=frac{2cdot sin x cdot cos x}{2}=frac{sin 2x}{2}$

$\ extrm{a);;função;intercepta;o;eixo;y;quando;x;=;0,;FALSA}$

$\ extrm{b);o;período;T;de;uma;função;do;tipo;}sin (ax), extrm{com;}a;in mathbb{Z}; extrm{é;dado;por:}\\T=frac{2pi}{|a|};;;;;;;;;;;;;; herefore T=frac{2pi}{2}=pi$

$\ extrm{c);o;valor;máximo;assumido;pela;função;seno;é;1:}\\sin 2x=1;;;;;; ightarrow ;;;2x=frac{pi}{2};;;;;; herefore x=frac{pi}{4}$

$\ extrm{d);o;valor;máximo;assumido;pela;função;seno;é;1;e;o;mínimo;é;(-1):}\\sin 2x=1;;;;;; ightarrow ;;;f(x)=frac{1}{2}\\sin 2x=-1;;;; ightarrow ;;f(x)=-frac{1}{2}\\ extrm{A;imagem;é:};;[-frac{1}{2},frac{1}{2}]$

$\ extrm{e);o;;domínio;é;o;conjunto;dos;reais};(mathbb{R})$

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