Questão 7494

CEFET-MG 2013

Matemática

(Cefet MG 2013) Em um plano, uma reta que passa pelo ponto P (8, 10) tangencia a circunferência x² + y² - 4x - 6y - 3 = 0 no ponto A. A medida do segmento PA, em unidades de comprimento, é

Gabarito:

Resolução:

Sendo D o centro da circunferência, temos que o triângulo PAD é retângulo. Na figura A1 e A2 são as duas possibilidades para A.

sendo assim precisamos determinar as coordenada do ponto D e o raio da circunferência.

Olhando para a equação:

$x^2+y^2-4x-6y-3=0\\Rightarrow x^2-4x+4+y^2-6y+9-16=0\\Rightarrow (x-2)^2+(y-3)^2=4^2$

desta forma tiramos D=(2,3) e r=4, daí usando pitágoras em PAD:

$egin{matrix} PA^2=&;PD^2-r^2\ =&; left[(8-2)^2+(10-3)^2 ight ]-4^4\ =&; 36+49-16\ =&; 69\ PA=&;sqrt{69} end{matrix}$

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