Questão 7633

CEFET-MG 2013

Matemática

(Cefet MG 2013) A reta s: intercepta as retas s₁: , s₂: nos pontos distintos que representam os afixos de dois números complexos, z₁ e z₂_, respectivamente. Nesse caso, a tangente do argumento do complexo z = z₁ + z₂ é igual a

Gabarito:

Resolução:

Ponto onde $s$ intercepta $s_1$ :

$s = s_1 herefore -frac{sqrt3}{3}x + 4 = sqrt3x + 3 herefore 4 - 3 = sqrt3x + frac{sqrt3}{3}x herefore 1 = frac{4sqrt3x}{3} herefore \\ 3 =4sqrt3x herefore frac{3}{4sqrt3} = x herefore frac{12sqrt3}{48} = x herefore oxed{x = frac{sqrt3}{4}} \\ ext{Substituindo o valor de x em s, temos:}\\y = -frac{sqrt3}{3}x + 4 herefore y = -frac{sqrt3}{3} cdot frac{sqrt3}{4} + 4 herefore y = frac{-3}{12} + 4 herefore y = frac{-1}{4} + 4 herefore oxed{y = frac{15}{4}}\\ ext{Portanto, } z_1 = frac{sqrt3}{4} + i cdot frac{15}{4}$

Ponto onde $s$ intercepta $s_2$ :

$s = s_2 herefore -frac{sqrt3}{3}x + 4 = 3 herefore 4 - 3 = frac{sqrt3}{3}x herefore 3 = sqrt3x herefore frac{3}{sqrt3} = x herefore \\ oxed{x = sqrt3}\\ ext{Substituindo o valor de x em s, temos:}\\y = -frac{sqrt3}{3}x + 4 herefore y = -frac{sqrt3}{3} cdot sqrt3 + 4 herefore y = -1 + 4 herefore oxed{y = 3}\\ ext{Portanto, } z_2 = sqrt3 + 3i$

Agora, calculando $z$ :

$z = z_1 + z_2 herefore z = frac{sqrt3}{4} + i cdot frac{15}{4} + sqrt3 + 3i herefore$

$z = left (frac{sqrt{3}}{4}+sqrt{3} ight )+ileft ( frac{15}{4}+3 ight )$
$\\ z = frac{5 sqrt{3} }{4} + i cdot frac{27}{4}$

Calculando o argumento de $z$ temos:

$an heta = frac{b}{a} herefore an heta = frac{frac{27}{4}}{ frac{5sqrt3}{4}} herefore an heta = frac{27}{5sqrt3} herefore an heta = frac{27 cdot 5sqrt3}{5sqrt3 cdot 5sqrt3} herefore \\ an heta = frac{135sqrt3}{75} herefore oxed{oxed{ an heta = frac{9sqrt3}{5}}}$

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