Questão 6

EFOMM 2013

Matemática

(EFOMM - 2013) O número de bactérias B, numa cultura, após t horas, é B = B₀.e^kt, onde k é um a constante real. Sabendo-se que o número inicial de bactérias é 100 e que essa quantidade duplica em t = $LARGE frac{ln2}{2}$ horas, então o número N de bactérias, após 2 horas, satisfaz:

800 < N < 1600.

1600 < N < 8100.

8100 < N < 128000.

128000 < N < 256000.

256000 < N < 512000.

Gabarito:

1600 < N < 8100.

Resolução:

Seja

$B(t)=B_0e^{kt}$

a quantidade de bactérias na cultura. Sabe-se que inicialmente, t=0, há 100 bactérias, portanto

$B(0)=B_0e^{0}=B_0=100$

Sabe-se que após $t=frac{ln 2}{2}$ horas haverá 200 bactérias:

$Bleft(frac{ln 2}{2} ight )=100cdot e^{kfrac{ln 2}{2}}=100cdotleft(e^{ln 2} ight )^{frac{k}{2}}=100cdot 2^frac{k}{2}=200 \ Rightarrow 2^frac{k}{2}=2\ Rightarrow k=2$

Após as duas horas então teremos:

$B(2)=100cdot e^{2cdot 2}=100cdot e^4$

sabe-se ainda que 2<e<3, e portanto $16=2^4<e^4<3^4=81$

então

$1600=2^4<B(2)<100cdot 81=8100$

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