Questão 9
EFOMM 2013
(EFOMM - 2013) O gráfico da função contínua y = f(x), no plano xy, é uma curva situada acima do eixo x para x > 0 e possui a seguinte propriedade:
“A área da região entre a curva y = f(x) e o eixo x no intervalo é igual à área entre a curva e o eixo x no intervalo
". Se a área da região entre a curva y = f(x) e o eixo x para x no intervalo
é o número A então a área entre a curva y = f(x) e o eixo x no intervalo
vale:
2A
3A
4A
5A
6A
Gabarito:
3A
Resolução:
As figuras a seguir foram obtidas a partir da observância do enunciado e do desenho de uma curva hipotética para f(x).
e
Vamos chamar a área abaixo de f(x) até o eixo x da primeira imagem de A1. A área abaixo de f(x) até o eixo x da segunda imagem vamos chamar de A2. Perceba que as figuras acima estão de acordo com o descrito no enunciado, com a exceção do formato da curva de f(x), que não é falada no enunciado, mas para facilitar a visualização foi desenhada uma curva hipotética. Do enunciado temos a relação: A1 = A2.
Depois o enunciado fala que a área entre f(x) e o eixo x é igual a A, para x entre 1 e 3. Da primeira figura, se a = 1 e b = 3, então A1 = A.
Depois o enunciado nos pergunta qual a área entre f(x) e o eixo x, para x entre 9 e 243. E se dividíssemos este intervalo, de 9 a 243, em três intervalos, de 9 a 27, de 27 a 81 e de 81 a 243?
Lembrando do segundo gráfico: para a = 1 e b = 3, se k = 9: ka = 9 e kb = 9.3 = 27. Então a área entre 9 e 27 é igual a área entre 1 e 3, logo, S1 = A.
Para a = 1 e b = 3, se k = 27: ka = 27 e kb = 27.3 = 81. Então a área entre 27 e 81 é igual a área entre 1 e 3, logo, S2 = A.
Para a = 1 e b = 3, se k = 81: ka = 81 e kb = 81.3 = 243. Então a área entre 81 e 243 é igual a área entre 1 e 3, logo, S3 = A.
Como a área entre 9 e 243 é igual a S1 + S2 + S3, então podemos afirmar que a área pedida pelo enunciado é 3A.
A alternativa correta é, portanto, a Letra B.