Questão 34157

ESCOLA NAVAL 2012

Matemática

Seja p a soma dos módulos das raízes da equação x³ + 8 = 0 e q o módulo do número complexo $Z$ , tal que $Zoverline{Z}$ = 108, onde $overline{Z}$ é o conjugado de $Z$ . Uma representação trigonométrica do número complexo p + qi é

$12left(cosfrac{pi}{3}+isenfrac{pi}{3} ight )$

$20left(cosfrac{pi}{3}+isenfrac{pi}{3} ight )$

$12left(cosfrac{pi}{6}+isenfrac{pi}{6} ight )$

$20sqrt{2}left(cosfrac{pi}{6}+isenfrac{pi}{6} ight )$

$10left(cosfrac{pi}{3}+isenfrac{pi}{3} ight )$

Gabarito:

$12left(cosfrac{pi}{3}+isenfrac{pi}{3} ight )$

Resolução:

Primeiro devemos achar os valores de p e q:

p é igual ao módulo das raízes de $x^3+8=0$

$left | x1 ight |+left | x2 ight |+left | x3 ight |=left | -2 ight |+left | 1+sqrt{3}i ight |+left | 1-sqrt{3}i ight |=6$

q é igual ao módulo de Z, tal que $Zoverline{Z}$ = 108, assim:

$108=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$

Logo: $left | Z ight |=sqrt{108}=q$

O número complexo procurado então é o $Z_1=6+sqrt{108}i$ . Ao transformarmos para a forma trigonométrica temos:

$Z_1=l(cos heta +sen heta*i )$ , tal que $l=left | Z_1 ight |=12$ , $tg heta =frac{sqrt{108}}{6}$ , logo $heta =arctgfrac{sqrt{108}}{6}=frac{pi}{3}$ .

Substituindo os valores encontrados achamos a resposta da alternativa a).

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