Questão 7735

ESCOLA NAVAL 2012

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2012) Seja m a menor raiz inteira da equação . Pode-se afirmar que o termo médio do desenvolvimento de $(sqrt{y}-z^{3})^{12m}$ é

Gabarito:

Resolução:

$\\ ext{Primeiro, } n!=1 ext{ apenas se } n=0 ext{ ou } n=1 ext{. Assim, temos que:} \\ (i);frac{(x-1)(5x-7)}{3}=0;;Rightarrow;;(x-1)(5x-7)=0;;Rightarrow;;x=1 ext{ ou } x=frac{7}{5}\\ (ii);frac{(x-1)(5x-7)}{3}=1;;Rightarrow;;(x-1)(5x-7)=3;;Rightarrow;;5x^2-12x+7=3;;Rightarrow;;5x^2-12x+4=0;;Rightarrow;;x=frac{2}{5} ext{ ou } x=2\\ ext{Logo, a menor raiz inteira é } x=1 ext{. Dessa forma, vem que } m=1 ext{.\\ Para o termo médio (termo do meio, ou seja, no caso é o sétimo termo) do desenvolvimento de } (sqrt{y}-z^3)^{12m}=(sqrt{y}-z^3)^{12} ext{, temos que:}$

$\\ T_7=inom{12}{6}(sqrt{y})^{6}(-z^3)^{12-6}=inom{12}{6}(y^{frac{1}{2}})^{6}(-1)^6(z^3)^6=inom{12}{6}y^3z^{18}\\ herefore;;oxed{T_7=frac{12!}{6!;6!};y^3z^{18}}$

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