Questão 65739

ESCOLA NAVAL 2012

Matemática

(ESCOLA NAVAL - 2012) A soma dos quadrados das raízes da equação $left | sen;x ight |=1-2sen^2x$ , quando $0<x<2pi$ vale

$frac{49pi^2}{36}$

$frac{49pi^2}{9}$

$frac{7pi^2}{3}$

$frac{14pi^2}{9}$

$frac{49pi^2}{6}$

Gabarito:

$frac{49pi^2}{9}$

Resolução:

Resolvendo a equação:

$|sen(x)| = 1-2cdot sen^2(x)$

Analisando o módulo temos duas equações diferentes. Fazendo, primeiramente, com $|sen(x)| = sen(x)$ :

$sen(x) = 1-2cdot sen^2(x)$

$2 cdot sen^2(x) + sen(x) - 1 = 0$

Fazendo $sen(x) = y$ :

$2y^2 + y -1 =0$

$(y+1)cdot (2y-1) = 0 Rightarrow$

$Rightarrow y_1 = -frac{1}{2}$

$Rightarrow y_2 = 1$

Fazendo, segundamente, com $|sen(x)| = - sen(x)$ :

$-sen(x) = 1-2cdot sen^2(x)$

$2cdot sen^2(x) - sen(x) - 1 = 0$

Fazendo $sen(x) = y$ :

$2y^2 - y - 1 = 0$

$(y-1)cdot (2y+1) = 0 Rightarrow$

$Rightarrow y_3 = -1$

$Rightarrow y_4 = frac{1}{2}$

Aplicando os valores de $y$ obtidos em $y = sen(x)$ vamos obter, dentro do intervalo proposto:

$x_1 = frac{5pi}{6}$

$x_2 = frac{pi}{6}$

$x_3 = frac{7pi}{6}$

$x_4 = frac{11pi}{6}$

A soma $S$ dos quadrados das raízes:

$S = (frac{5pi}{6})^2 + (frac{pi}{6})^2 + (frac{7pi}{6})^2 + (frac{11pi}{6})^2$

$S = frac{25pi^2}{36} + frac{pi^2}{36} + frac{49pi}{36} + frac{121pi}{36}$

$S = frac{196pi^2}{36}$

$S = frac{49pi^2}{9}$

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