Questão 8227

ESCOLA NAVAL 2012

Matemática

(Esc. Naval 2012) Considere dois cones circulares retos, de altura H e raio da base 1 cm, de modo que o vértice de cada um deles é o centro da base do outro. O volume comum aos dois cones coincide com o volume do sólido obtido pela rotação do setor circular, sombreado na figura abaixo, em torno do eixo l. O valor de H é, em cm,

Gabarito:

Resolução:

Primeiro, vamos calcular o volume da interseção entre os dois cones:

Podemos dividir a região de interseção em dois cones de altura e raios h e r, respectivamente. No entanto, como os cones maiores são idênticos e cada vértice está no centro da base do cone oposto, o círculo de interseção entre eles está na metade da altura total:

$h=frac{H}{2}$

Como, ao dividir um sólido de revolução por uma seção paralela à base tem-se medidas proporcionais ao original, temos:

$frac{H}{h}=frac{R}{r}$

Sendo H a altura dos cones originais e R o raio dos cones originais. Como R = 1 e conhecemos h:

$r=frac{R}{2}=frac{1}{2}$

Logo, o volume dos cones será:

$V=2frac{pi r^2h}{3}=frac{2 pi }{3}(frac{1}{2})^2frac{H}{2}=frac{Hpi }{12}$

Agora, calculamos o volume do sólido obtido na rotação da seção circular:

O volume desse sólido pode ser calculado pela diferença entre o volume do hemisfério de raio r e um cone e uma calota esférica:

A região verde é o volume que queremos encontrar, a azul é o cone e a vermelha a calota esférica. Logo:

$R_{cone}=r*cos30=rfrac{sqrt{3}}{2}$

$H_{cone}=rsen30=frac{r}{2}$

$h_{calota}=r-H=r-frac{r}{2}=frac{r}{2}$

Portanto, o volume da região será:

$V=V_{hemisferio}-V_{cone}-V_{calota}$

$V=frac{4 pi r^3}{3*2}-frac{3(rsqrt{3})^2*r}{3*2^2*2}-frac{pi r^2*(3r-r/2) }{3*2^2*2}$

$V=frac{pi r^3}{3}$

Igualando os volumes encontrados:

$frac{Hpi }{12}=frac{pi r^3}{3}$

$H=4r^3$

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