Questão 18

ESPCEX 2013

Matemática

(EsPCEx - 2013) De todos os números complexos z que satisfazem a condição $|z-left(2-2i ight )|=1$ , existe um número complexo $z_1$ que fica mais próximo da origem. A parte real desse número complexo $z_1$ é igual a:

$frac{4-sqrt{2}}{2}$

$frac{4+sqrt{2}}{2}$

$frac{4-sqrt{2}}{4}$

$frac{4+sqrt{2}}{4}$

$frac{sqrt{2}}{2}$

Gabarito:

$frac{4-sqrt{2}}{2}$

Resolução:

$|z-left(2-2i ight )|=1$

1) Considerando z como x+yi, temos que:

$|x+yi-2+2i|=1$

$|x-2+(y+2)i|=1$

2) Logo, como estamos tratando de módulo de um número complexo:

$(x-2)^2+(y+2)^2=1^2$ $ightarrow mathrm{Circunferência:com:centro:em}:left(2,:-2 ight):mathrm{e:raio}:r=1$

3) Como queremos o número complexo $z_1$ que fica mais próximo da origem, uma estratégia é encontrar o ponto que fica na reta que une o centro da circunferência e a origem. A reta que une esses pontos é: y=-x

4) Logo,

$(x-2)^2 + (-x+2)^2 = 1$

$2x^2-8x+7=0$

$x_{1,:2}=frac{-left(-8 ight)pm sqrt{left(-8 ight)^2-4cdot :2cdot :7}}{2cdot :2}$

$x_1=frac{4+sqrt{2}}{2},:oxed{x_2=frac{4-sqrt{2}}{2}}$

PS: A resposta é x₂, pois estamos querendo o ponto mais próximo da origem.

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