Questão 6820

ESPCEX 2013

Matemática

(EsPCEx - 2013) O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz é:

Gabarito:

Resolução:

Resolução 1:

$M = egin{bmatrix} 1 &0 &1 \ 2&1 &0 \ 0& 1 &1 end{bmatrix}$

$A_{-1} = frac{overline{A}}{detA}$

$det A = 3$

O elemento da segunda linha e terceira coluna da inversa será o elemento $a_{3,2}$ da matriz cofatora:

$a_{3,2} = frac{1 cdot (-1)^{3+2}egin{vmatrix} 1 &1 \ 2&0 end{vmatrix} }{3} = frac{2}{3}$

Resolução 2:

$egin{pmatrix} 1 & 0 & 1\ 2 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 end{pmatrix}$

1) Calculando a matriz inversa:

2) $mathrm{Aumentar:com:uma:matriz:identidade:de}:3x3$

$egin{bmatrix}1&0&1&mid :&1&0&0\ 2&1&0&mid :&0&1&0\ 0&1&1&mid :&0&0&1end{bmatrix}$

3) $Converter:a:matriz:em:uma:matriz:identidade$ :

3.1) $mathrm{Trocar:filas:da:matriz:}:R_1:leftrightarrow :R_2$

$egin{bmatrix}2&1&0&mid :&0&1&0\ 1&0&1&mid :&1&0&0\ 0&1&1&mid :&0&0&1end{bmatrix}$

3.2) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_2:mathrm{:realizando}:R_2:leftarrow :R_2-frac{1}{2}cdot :R_1$

$egin{bmatrix}2&1&0&mid :&0&1&0\ 0&-frac{1}{2}&1&mid :&1&-frac{1}{2}&0\ 0&1&1&mid :&0&0&1end{bmatrix}$

3.3) $mathrm{Trocar:filas:da:matriz:}:R_2:leftrightarrow :R_3$ :

$egin{bmatrix}2&1&0&mid :&0&1&0\ 0&1&1&mid :&0&0&1\ 0&-frac{1}{2}&1&mid :&1&-frac{1}{2}&0end{bmatrix}$

3.4) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_3:mathrm{:realizando}:R_3:leftarrow :R_3+frac{1}{2}cdot :R_2$ :

$egin{bmatrix}2&1&0&mid :&0&1&0\ 0&1&1&mid :&0&0&1\ 0&0&frac{3}{2}&mid :&1&-frac{1}{2}&frac{1}{2}end{bmatrix}$

3.5) $mathrm{Multiplicar:a:fila:da:matriz:pela:constante:}:R_3:leftarrow frac{2}{3}cdot :R_3$

$egin{bmatrix}2&1&0&mid :&0&1&0\ 0&1&1&mid :&0&0&1\ 0&0&1&mid :&frac{2}{3}&-frac{1}{3}&frac{1}{3}end{bmatrix}$

3.6) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_2:mathrm{:realizando}:R_2:leftarrow :R_2-1cdot :R_3$

$egin{bmatrix}2&1&0&mid :&0&1&0\ 0&1&0&mid :&-frac{2}{3}&frac{1}{3}&frac{2}{3}\ 0&0&1&mid :&frac{2}{3}&-frac{1}{3}&frac{1}{3}end{bmatrix}$

3.7) $mathrm{Cancelar:o:primeiro:coeficiente:na:fila:}:R_1:mathrm{:realizando}:R_1:leftarrow :R_1-1cdot :R_2$

$egin{bmatrix}2&0&0&mid :&frac{2}{3}&frac{2}{3}&-frac{2}{3}\ 0&1&0&mid :&-frac{2}{3}&frac{1}{3}&frac{2}{3}\ 0&0&1&mid :&frac{2}{3}&-frac{1}{3}&frac{1}{3}end{bmatrix}$

3.8) $mathrm{Multiplicar:a:fila:da:matriz:pela:constante:}:R_1:leftarrow frac{1}{2}cdot :R_1$

$egin{bmatrix}1&0&0&mid :&frac{1}{3}&frac{1}{3}&-frac{1}{3}\ 0&1&0&mid :&-frac{2}{3}&frac{1}{3}&frac{2}{3}\ 0&0&1&mid :&frac{2}{3}&-frac{1}{3}&frac{1}{3}end{bmatrix}$

4) $mathrm{A:matriz:inversa:se:encontra:na:parte:direita:da:matriz:aumentada}$

$egin{pmatrix}frac{1}{3}&frac{1}{3}&-frac{1}{3}\ -frac{2}{3}&frac{1}{3}&frac{2}{3}\ frac{2}{3}&-frac{1}{3}&frac{1}{3}end{pmatrix}$

5) O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz é .

Resolução 3:

$A cdot A^{-1}=I$

1) Desenvolvendo:

$egin{pmatrix} 1 & 0 & 1\ 2 & 1 & 0\ 0 & 1 & 1 end{pmatrix}egin{pmatrix} a & b & c\ d & e & f\ g & h & i end{pmatrix}=egin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$

$egin{pmatrix}1cdot :a+0cdot :d+1cdot :g&1cdot :b+0e+1cdot :h&1cdot :c+0cdot :f+1cdot :i\ 2a+1cdot :d+0cdot :g&2b+1e+0cdot :h&2c+1cdot :f+0cdot :i\ 0cdot :a+1cdot :d+1cdot :g&0cdot :b+1e+1cdot :h&0cdot :c+1cdot :f+1cdot :iend{pmatrix}=egin{pmatrix} 1 & 0 & 0\ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$