Questão 7

ESPCEX 2013

Matemática

(EsPCEx - 2013) Sobre a curva 9x² + 25y² – 36x + 50y – 164 = 0, assinale a alternativa correta.

Seu centro é (-2, 1).

A medida do seu eixo maior é 25.

A medida do seu eixo menor é 9.

A distância focal é 4.

Sua excentricidade é 0,8.

Gabarito: Sua excentricidade é 0,8.

Resolução:

1) Lembre-se que

$frac{left(x-h ight)^2}{a^2}+frac{left(y-k ight)^2}{b^2}=1:mathrm{acute{e}:a:equac ilde{a}o:geral:da:elipse:}$

$mathrm{com:centro:em}:left(h,:k ight):mathrm{y:}a,:bmathrm{:são:os:semieixos:maior:e:menor}$

2) $mathrm{Reescrever}:;9x^2+25y^2-36x+50y-164=0:; mathrm{com:a:forma:da:equação:geral:da:elipse}$ :

$9x^2-36x+25y^2+50y=164$

2.1) $mathrm{Fatorar:o:coeficiente:de:termos:quadrados}:$

$9left(x^2-4x ight)+25left(y^2+2y ight)=164$

2.2) $mathrm{Dividir:pelo:coeficiente:de:termos:quadrados::}9$

$left(x^2-4x ight)+frac{25}{9}left(y^2+2y ight)=frac{164}{9}$

2.3) $mathrm{Dividir:pelo:coeficiente:de:termos:quadrados::}25$

$frac{1}{25}left(x^2-4x ight)+frac{1}{9}left(y^2+2y ight)=frac{164}{225}$

2.4) $mathrm{Converter}:x:mathrm{em:sua:forma:quadrática}$ :

$frac{1}{25}left(x-2 ight)^2+frac{1}{9}left(y^2+2y ight)=frac{164}{225}+frac{1}{25}left(4 ight)$

2.5) $mathrm{Converter}:y:mathrm{em:sua:forma:quadrática}$

$frac{1}{25}left(x-2 ight)^2+frac{1}{9}left(y+1 ight)^2=frac{164}{225}+frac{1}{25}left(4 ight)+frac{1}{9}left(1 ight)$

2.6) Simplificar:

$frac{left(x-2 ight)^2}{25}+frac{left(y+1 ight)^2}{9}=1$

2.7) $mathrm{Reescrever:na:forma:geral}$

$frac{left(x-2 ight)^2}{5^2}+frac{left(y-left(-1 ight) ight)^2}{3^2}=1$

3) $mathrm{Portanto,:as:propriedades:da:elipse:são:}$

Centro: $left(h,:k ight)=left(2,:-1 ight)$

$a=5,:b=3$

4) Logo, podemos calcular o c:

$5^2=3^2+c^2$

$c=4$

5) Calculando a excentricidade:

$e=frac{c}{a}=frac{4}{5}=0,8$

PS: Segue a função plotada:

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