Questão 20

ESPCEX 2013

Matemática

(EsPCEx - 2013) Dado o polinômio q (x) que satisfaz a equação x³ + ax² - x + b = (x - 1) q(x) e sabendo que 1 e 2 são raízes da equação x³ + ax² - x + b = 0, determine o intervalo no qual q(x) ≤ 0 :

Gabarito: left [ -1, 2
ight ]

Resolução:

Ora, q(x) é um polinômio de segundo grau, pois q(x)(x-1) é um polinômio de 3º grau.

Se $x^{3} +ax^{2} + b$ possui raízes 1 e 2, então:

$x^{3} + ax^{2} - x+b = (x-1)(x-2)(x-c) = x^{3} - (1+2+x)x^{2} + (2+2c+c)x - 2x$

Então:

$2+3c = -1$

$c = -1$

-1 é uma das raízes.

Podemos reescrever o polinômio:

$x^{3} + ax^{2} -x + b = (x-1) (x-2) (x+1 = x^{3} - 2x^{2} -x + 2$

Analogamente, a = -2 e b = 2.

$(x-1)(x-2)(x+1) = q(x)(x-1)$

$q(x) = (x-2)(x+1) = x^{2} - x -2$

$q(x) = x^{2} - x - 2$

$q(x) leq 0$

Logo:

$x^{2} -x -2 leq 0$

$x^{2} -2x cdot frac{1}{2} + frac{1}{4} leq 2 + frac{1}{4}$

$(x - frac{1}{2})^{2} leq frac{9}{4}$

$|x - frac{1}{2}| leq frac{3}{2}$

$-frac{3}{2} leq x - frac{1}{2} leq frac{3}{2}$

$-1 leq x leq 2$

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