Questão 20

ESPCEX 2014

Matemática

(EsPCEx - 2014)

Na figura abaixo temos uma espiral formada pela união de infinitos semicírculos cujos centros
pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 1 e o raio de
cada semicírculo é igual à metade do semicírculo anterior, o comprimento da espiral é igual a

$pi$

$2pi$

$3pi$

$4pi$

$5pi$

Gabarito:

$2pi$

Resolução:

Temos uma progressão geométrica infinita de razão 1/2.

Sabemos que o comprimento de uma semi-circunferência é dado por:

$c = pi R$

Logo:

$c_{1} = pi$

$c_{2} = frac{pi}{2}$

$c_{3} = frac{pi}{4}$

Fazendo a soma infinita:

$S_{infty} = frac{a_{1}}{1-q}$

$S_{infty} = frac{pi}{frac{1}{2}} = 2 pi$

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