Questão 14

ESPCEX 2014

Matemática

(EsPCEx - 2014)

Seja x um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos são definidos por a_ij = i - j.

Sobre a equação em x definida por det(A - xI) = x + detA é correto afirmar que

as raízes são 0 e .

todo x real satisfaz a equação.

apresenta apenas raízes inteiras.

uma raiz é nula e a outra negativa.

apresenta apenas raízes negativas.

Gabarito:

apresenta apenas raízes inteiras.

Resolução:

1) Analisando o enunciado:

$I = egin{pmatrix} 1 &0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

$A = egin{pmatrix} a_{11} &a_{12} \ a_{21} & a_{22} end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1-1 &1-2 \ 2-1 & 2-2 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 &-1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

2) det(A - xI) = x + detA:

$detleft ( egin{pmatrix} 0 &-1 \ 1 & 0 end{pmatrix} - egin{pmatrix} x &0 \ 0& x end{pmatrix} ight ) = x+det egin{pmatrix} 0 &-1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

3) Simplificando:

$det egin{pmatrix} -x &-1 \ 1 & -x end{pmatrix} = x+det egin{pmatrix} 0 &-1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

4) Lembre-se que $det egin{pmatrix}a:&:b:\ c:&:d:end{pmatrix}:=:ad-bc$ :

Logo,

$x^2+1=x+1$

$x^2-x=0$

$x(x-1)=0$

5) Logo, x=0 ou x=1.

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