Questão 3

ESPCEX 2017

Matemática

(EsPCEx - 2017)

Seja a igualdade a seguir:

$frac{a}{3}-frac{b}{5}i=left( cosfrac{pi}{6}+isenfrac{pi}{6} ight )^4$ .

Se a e b são números reais, então o quociente a/b é igual a (i é a unidade imaginária):

$frac{sqrt{3}}{5}$

$3cdotfrac{sqrt{3}}{5}$

$-3cdotfrac{sqrt{3}}{5}$

$-frac{sqrt{3}}{5}$

$frac{15sqrt{3}}{4}$

Gabarito:

$frac{sqrt{3}}{5}$

Resolução:

1) Resolvendo $( cosfrac{pi}{6}+ i sinfrac{pi}{6} )^4$

$( cosfrac{pi}{6}+ i sinfrac{pi}{6} )^4 = (( cosfrac{pi}{6}+ i sinfrac{pi}{6} )^2)^2$

2) Como $cos left(frac{pi }{6} ight)=frac{sqrt{3}}{2} ; e ; sin left(frac{pi }{6} ight)=frac{1}{2}$

$( cosfrac{pi}{6}+ i sinfrac{pi}{6} )^4 = (( frac{sqrt{3}}{2}+ i cdot frac{1}{2})^2)^2$

$( cosfrac{pi}{6}+ i sinfrac{pi}{6} )^4 = (frac{left(sqrt{3}+i ight)^2}{2^2})^2$

$( cosfrac{pi}{6}+ i sinfrac{pi}{6} )^4 = (frac{1+sqrt{3}i}{2})^2$

$( cosfrac{pi}{6}+ i sinfrac{pi}{6} )^4 =-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i$

3) Como $frac{a}{3}-frac{b}{5}i=left( cosfrac{pi}{6}+isenfrac{pi}{6} ight )^4$

$frac{a}{3}-frac{b}{5}i=-frac{1}{2}+frac{sqrt{3}}{2}i$

4) Logo,

$frac{a}{3}=-frac{1}{2} ightarrow a=-frac{3}{2}$

$-frac{b}{5}i=frac{sqrt{3}}{2}i ightarrow b=-frac{5sqrt{3}}{2}$

5) o quociente a/b é igual a

$frac{a}{b}=frac{-frac{3}{2}}{-frac{5sqrt{3}}{2}} = frac{sqrt{3}}{5}$

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