Questão 9

ESPCEX 2017

Matemática

(EsPCEx - 2017)

Uma elipse tem centro na origem e vértices em (2a, 0) e (0, a), com a > 0. A área do quadrado inscrito nessa elipse é

$frac{16a^{2}}{5}$

$frac{4a^{2}}{5}$

$frac{12a^{2}}{5}$

$frac{8a^{2}}{5}$

$frac{20a^{2}}{5}$

Gabarito:

$frac{16a^{2}}{5}$

Resolução:

A equação da elipse é dada por:

$frac{x^{2}}{(2a)^{2}} + frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

$frac{x^{2}}{4a^{2}} + frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

A e B são vértices do quadrado ABCD inscrito na elipe.

Assim, pela figura, o lado AB do quadrado tem medida 2y, ou seja, sua área S é tal que S = 4y².

Note, na figura, que x = y, logo:

$frac{y^{2}}{4a^{2}} + frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

$y^{2} + 4y^{2} = 4a^{2}$

$5y^{2} = 4a^{2}$

$frac{4}{5} cdot 5y^{2} = frac{4}{5}4a^{2}$

$4y^{2} = frac{16}{5}a^{2}$

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