Questão 15

ESPCEX 2021

Matemática

(EsPCEx - 2021) Considere a função $f: [-1, + infty) ightarrow [-7, + infty)$ onde $f(x) = x^2 + 2x - 6$ . Sabendo que a função $f$ tem uma inversa $f^{-1}$ e sendo $I (a,b)$ o ponto de interseção dos gráficos de $f$ e $f^{-1}$ , a soma $a + b$ pertence ao intervalo

$(- infty , 0]$

$(0,5]$

$(5,10]$

$(10,15]$

$(15, + infty)$

Gabarito:

$(0,5]$

Resolução:

Resolução longa:

i) Calculando a função inversa:

$x = y^2 + 2y - 6$

$y^2+2y-6-x=0$

$Delta =4 +4(6+x)$

$Delta =28+4x=4(7+x)$

$y=frac{-2+ sqrt{28+4x}}{2}=-1+ sqrt{7+x}$

ii) Intersecção dos gráficos:

$y=-1+ sqrt{7+x}=x^2+2x-6$

$sqrt{7+x}=x^2+2x-5$

Elevando ao quadrado os dois lados:

$7+x=x^4+4x^2+25+2(2x^3-5x^2-10x)$

$x^4+4x^3-6x^2-21x+18=0$

Por Raízes Racionais, conseguimos descobrir que 2 e -3 são raízes. Assim:

$x^4+4x^3-6x^2-21x+18=q(x)cdot (x-2)(x+3)$

$q(x)=frac{x^4+4x^3-6x^2-21x+18}{x^2+x-6}$

$q(x)=x^2+3x-3$

$Delta =9+12=21$

$x=frac{-3pmsqrt{21}}{2}$

Raízes do polinômio: $frac{-3-sqrt{21}}{2}, ; frac{-3+sqrt{21}}{2}, ; 2, ; -3$

• $frac{-3+sqrt{21}}{2}$ e -3 não estão dentro do domínio de $f$ .

$frac{-3-sqrt{21}}{2}$ não está dentro do domínio de $f^{-1}$ .

Logo, $x=2$ .

iii) $y(2)=2^2+2cdot 2-6=8-6=2$

$(a,b)equiv(2,2)$

→ $a+b=4$

Resolução rápida:

i) Não é necessário calcular a inversa para resolver a questão. Como foi pedido o ponto de intersecção entre o gráfico de $f$ e sua inversa, é possível utilizar a propriedade de que o gráfico da inversa é espelhado ao gráfico da função, em relação à função identidade $y=x$ . Assim, é notável que o ponto de encontro pertence à reta identidade, de modo que $f(x)=x$ . Logo: