Questão 13

ESPCEX 2021

Matemática

(EsPCEx - 2021) Calculando-se o volume de uma esfera circunscrita a um cone equilátero cujo raio da base mede $sqrt 3$ cm, obtém-se

$frac{8 pi}{3} cm^3$

$frac{4 pi}{3} cm^3$

$frac{16 pi}{3} cm^3$

$frac{64 pi}{3} cm^3$

$frac{32 pi}{3} cm^3$

Gabarito:

$frac{32 pi}{3} cm^3$

Resolução:

Se o cone é equilátero, sabemos que sua geratriz mede $2sqrt{3}$ .Fazendo um corte que divide o cone e a esfera ao meio de forma simétrica, temos o desenho de um triângulo equilátero $Delta ABC$ de lado $2sqrt{3}$ inscrito em uma circunferência de raio R e centro O. Para encontrar o raio R, vamos analisar o triângulo $Delta AOB$ , cujo ângulo maior mede 120° e os lados AO e BO medem R e o lado AB mede $2sqrt{3}.$

Lei dos cossenos:

$(AB)^2=(AO)^2+(BO)^2 -2cdot AO cdot BO cdot (frac{-1}{2})$

$(2sqrt{3})^2 = R^2 + R^2 +R^2$

$12=3R^2$

$R^2=4$

$R=2$

Agora podemos encontrar o volume da esfera pela fórmula $V=frac{4pi}{3}cdot R^3$

$V=frac{4pi}{3} cdot 8$

$V=frac{32pi}{3}$

Questões relacionadas

Questão 1

(EsPCEx - 2021) Considere o triângulo ABC de vértices nos pontos A (1,2), B(9,6) e C (3,8). Sabendo que o ponto I(a,b) pertence ao lado AB e IC é o segmento correspondente a...

Ver questão

Questão 4

(EsPCEx - 2021) A circunferência que tem seu centro no ponto (1,-1) e é tangente à reta de equação tem equação dada por:

Ver questão

Questão 11

(EsPCEx - 2021) Simplificando-se a expressão: , onde i é a unidade imaginária, obtem-se:

Ver questão

Questão 6

(EsPCEx - 2021) Um aluno da EsPCEx tem a probabilidade de 60% de acertar um problema de matemática ao tentar resolvê-lo. Numa prova de matemática com 5 problemas, qual a chance des...

Ver questão