Questão 12

ESPCEX 2021

Matemática

(EsPCEx - 2021) Dado o sistema linear

$egin{cases} x+y+ z=a \ x+2y+z=2a \ 2x+3y+2z=a^2 end{cases}$

Os valores do número real a, tais que o sistema linear acima tenha solução, pertencem ao conjunto

$(- infty , -1]$

$(-1,4]$

$(4,8]$

$(8,11]$

$(11, + infty)$

Gabarito:

$(-1,4]$

Resolução:

Escrevendo o sistema em forma matricial temos:
$egin{pmatrix} 1 &1 & 1 \ 1& 2 & 1 \ 2& 3 & 2 & end{pmatrix}egin{pmatrix} x\ y\ z end{pmatrix}=egin{pmatrix} a\ 2a\ a^2 end{pmatrix}$
Aplicando a regra de Sarrus na matriz contendo os coeficientes das equações nós podemos verificar que seu determinante é igual a zero, pela Regra de Cramer quando isso ocorre temos um sistema SPD.

$egin{vmatrix} 1 &1 & 1 \ 1& 2 & 1 \ 2& 3 & 2 end{vmatrix}=(4+2+3)-(2+3+4)=0$
Agora vamos escalonar o sistema para descobrir os valores de a:
$egin{pmatrix} 1 &1 &1 &|a \ 1& 2 & 1 &|2a \ 2&3 &2 &|a^2 end{pmatrix}$
$egin{pmatrix} 1 &1 &1 &|a \ 0& 1 & 0 &|a \ 0&1 &0 &|a^2-2a end{pmatrix}$
$egin{pmatrix} 1 &0 &1 &|0 \ 0& 1 & 0 &|a \ 0&1 &0 &|a^2-2a end{pmatrix}$

Aqui achamos que x=z e $y=a=a^2-2a$ , logo,

$a^2-3a=0$
$a(a-3)=0$
a=0 ou a=3

Os valores de a estão no intervalo (-1,4], letra B

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