Questão 11954

Gabarito:

Resolução:

Seja f(x) uma função periódica de período P. 

Uma função f(ax + b) também é periódica e de período P' = |P/a|.

NOTA: |x| significa o módulo de x ou valor absoluto de x. O módulo de um número é o número, porém sem sinal negativo, somente sinal positivo. Por exemplo, qual o módulo de 2? |2| = 2. Qual o módulo de -81? |-81| = 81 (tiramos o sinal de negativo, ficou o de positivo). Daí, P' = |P/a| significa que o período da função f(ax + b) é o módulo de P, período da função f(x), dividido por a. Por que isto? Bom, para f(x) de período P, então, f(x) = f(x + P), certo? Para f(ax + b), de período P', temos: f(ax + b) = f(a.(x + P') + b) = f(ax + a.P' + b) = f(ax + b + a.P'), se assumirmos que ax+b da função f(ax + b) é um x', x' número real pertencente ao domínio de f, então f(ax + b) = f(a.(x + P') + b) = f(ax + a.P' + b) = f(ax + b + a.P'), com f(ax + b) = f(x') e f(ax + b + a.P') = f(x' + a.P') => f(x') = f(x' + a.P') e sabendo que, como P é período de f(x), para o mesmo x', f(x') = f(x' + P), então: f(x') = f(x' + P) = f(x' + a.P') => P = a.P', em módulo, logo, P' = |P/a|.

Vemos no gráfico, que o gráfico da função se repete a cada duas unidades em x, então o período de f(x) é 2:

Desse modo, o período de f(3x + 1) deve ser P = |2/3| = 2/3