Questão 12488

FGV 2012

Matemática

(FGV - 2012) O termo independente de x do desenvolvimento de é

26.

169.

220.

280.

310.

Gabarito:

220.

Resolução:

O termo independente deve ser aquele que acompanha x⁰.

Para que tenhamos um termo com x⁰ precisamos que, sendo n e m dois números naturais e n + m = 12, n seja igual a 3m.

Isso ocorre porque:

$x^{n}cdot (frac{1}{x^{3}})^{m}=x^{n-3m}$

e n - 3m deve ser igual a 0.

Resolvendo o sistema a seguir, podemos encontra n e m:

n + m = 12 (I)

n = 3m (II)

Com (II) em (I):

3m + m = 12, então m = 3 e n = 9

Assim, precisamos encontrar o 4º termo do desenvolvimento do binômio dado considerando a ordem crescente dos expoentes de 1/x³.

O termo é:

$T_{5} =inom{12}{3}cdot x^{12-3}cdot (frac{1}{x^{3}})^{3} = inom{12}{3}cdot x^{0}=inom{12}{3}=220$

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