Questão 21193

FGV 2012

Matemática

(FGV - 2012) Sendo m um número inteiro, considere a equação polinomial $3x^{4} + 2x^{3 } + mx^{2} - 4x = 0$ , na incógnita x, que possui uma raiz racional entre
e . Nessas condições, a menor raiz irracional da equação é igual a

Gabarito:

Resolução:

Desenvolvendo a equação, temos:

$3x^4+2x^3+mx^2-4x = 0$

$x(3x^3+2x^2+mx-4) = 0$

Pesquisando as possíveis raízes, temos:

Divisores de 4: $pm1, pm2, pm4$

Divisores de 3: $pm1, pm3$

Portanto, as possíveis raízes são:

$pm1, pm2, pm4, pmfrac{1}{3}, pmfrac{2}{3}, pmfrac{4}{3}$

Sendo que dessas raízes, apenas $-frac{2}{3}$ está entre $-frac{4}{5}$ e $-frac{1}{2}$ .

Substituindo x por $-frac{2}{3}$ , teremos:

$-frac{2}{3}(3left ( -frac{2}{3} ight )^3+2left ( -frac{2}{3} ight )^2+mleft ( -frac{2}{3} ight )-4) = 0 Leftrightarrow m = -6$

Substituindo m na equação polinomial teremos: $x(3x^3+2x^2-6x+4) = 0$

Reduzindo por Briot-Ruffini, encontraremos:

$3x^2-6 = 0 Leftrightarrow x^2 = 2 Leftrightarrow x = pmsqrt{2}$

Portanto, a menor é $-sqrt{2}$ .

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