Gabarito:
5/7
Resolução:
"Uma caixa contém 5 bolas brancas e 2 pretas, num total de 7 bolas idênticas, exceto pelas cores. Retira-se aleatoriamente dessa caixa, e sem reposição, uma bola por vez até que todas as bolas brancas, ou todas as bolas pretas, tenham sido retiradas, o que acontecer primeiro. A probabilidade de que a última bola retirada da caixa seja preta é"
Se a última bola a ser retirada é a preta então retira-se primeiro as duas bolas pretas antes de se retirar as 5 bolas brancas.
Alguns acontecimentos notáveis precisamos ter em mente: se a primeira bola a ser retirada for preta e a segunda bola também for preta e se retirou-se primeiro 4 bolas brancas e uma bola preta para só depois, restando apenas uma bola branca e uma preta, se retirar a última preta. Estes dois eventos seriam os dois extremos que poderiam ocorrer.
A chave aqui é perceber que independendo do número de bolas retiradas, a probabilidade de a última ser a preta é constante. Por exemplo, no caso das duas primeiras já serem as pretas, a probabilidade seria:
P = probabilidade da primeira ser a preta x probabilidade da segunda ser a preta = 2/7 x 1/6 = 2/42 = 1/21.
Já se forem retiradas 5 bolas primeiramente, 4 brancas e 1 preta, a probabilidade da sexta bola retirada ser preta para que a última a ser retirada seja a preta é de:
Número de possibilidades em que podemos organizar as 5 primeiras bolas como sendo 4 brancas e 1 preta: 5 (PBBBB, BPBBB, BBPBB, BBBPB, BBBBP).
Probabilidade para cada caso:
PBBBB e P: Prob. = 2/7 x 5/6 x 4/5 x 3/4 x 2/3 x 1/2 = 1/21.
BPBBB e P: Prob. = 5/7 x 2/6 x 4/5 x 3/4 x 2/3 x 1/2 = 1/21.
BBPBB e P: Prob. = 5/7 x 4/6 x 2/5 x 3/4 x 2/3 x 1/2 = 1/21.
BBBPB e P: Prob. = 5/7 x 4/6 x 3/5 x 2/4 x 2/3 x 1/2 = 1/21.
BBBBP e P: Prob. = 5/7 x 4/6 x 3/5 x 2/4 x 2/3 x 1/2 = 1/21.
Logo, o problema aqui é definir quantos são os casos possíveis que podemos formar da quantidade de bolas retiradas: se foram retiradas só 2 (duas pretas), 3, 4, 5 ou 6 (nunca 7 pois aí tiraríamos a última bola branca primeiro que é algo que não queremos).
Se forem retiradas 2 bolas, só temos uma formação, PP.
Se forem retiradas 3 bolas, temos duas formações, PBP e BPP.
Se forem retiradas 4 bolas, temos três formações, BBPP, BPBP e PBBP.
Se forem retiradas 5 bolas, temos quatro formações, BBBPP, BBPBP, BPBBP e PBBBP.
Se forem retiradas 6 bolas, temos cinco formações, PBBBBP, BPBBBP, BBPBBP, BBBPBP e BBBBPP.
Logo, temos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 formações possíveis, cada uma com uma probabilidade de 1/21 de ocorrer, como visto acima. Logo:
Probabilidade da última ser preta é = 15 x (1/21) = 15/21 = 5/7 que nos dá Letra B como resposta.