Questão 38804
FGV 2014
(FGV - Adaptada)
Em uma competição de Matemática, a prova é do tipo múltipla escolha com 25 questões. A pontuação de cada competidor é feita de tal maneira que cada questão
- respondida corretamente vale 6 pontos;
- não respondida vale 1,5 ponto;
- respondida erradamente vale 0 (zero) ponto.
Responda a cada uma das perguntas abaixo e marque a alternativa correta.
a) É possível um competidor fazer exatamente 100 pontos? Se a resposta for afirmativa, mostre uma maneira; se não for, justifique a impossibilidade.
b) Márcia fez mais de 100 pontos. Quantas questões, no mínimo, ela respondeu corretamente?
(a) Não.
(b) 17.
(a) Não.
(b) 15.
(a) Sim.
(b) 17.
(a) Não.
(b) 14.
(a) Sim.
(b) 14.
Gabarito:
(a) Não.
(b) 14.
Resolução:
A) Sejam, respectivamente, C, N e E, as quantidades de questões respondidas corretamente, não respondidas e respondidas erradamente por um competidor. Assim, deve-se ter:
Multiplicando a segunda equação por 2 e dividindo por 3, obtém-se
Ora, como N e C são inteiros, N+4C também é inteiro e, portanto, a igualdade é impossível. Logo, não é possível um competidor fazer exatamente 100 pontos.
B) A situação mais favorável ocorre quando Márcia não responde nenhuma questão erradamente.
Nesse caso, tem-se que
Da primeira equação tem-se que N=25-C, que substituído na segunda equação fornece:
Logo, o valor mínimo possível para C é 14, isto é, Márcia respondeu corretamente, no mínimo 14 questões.