Questão 54563

FGV 2014

Matemática

(ESPM - 2014) Se as raízes da equação $2x^{2}-5x-4=0$ são m e n, o valor de $frac{1}{m}+frac{1}{n}$ é igual a:

$-frac{5}{4}$

$-frac{3}{2}$

$frac{3}{4}$

$frac{7}{4}$

$frac{5}{2}$

Gabarito:

$-frac{5}{4}$

Resolução:

Vamos aplicar Baskhara para resolver:

$2x^{2}-5x-4=0$

$Delta=(-5)^{2}-4cdot2cdot-4=57$

$x=frac{-(-5)pmsqrt{57}}{2cdot2}=frac{5pmsqrt{57}}{4}$

$x_{1}=frac{5+sqrt{57}}{4}$

$x_{2}=frac{5-sqrt{57}}{4}$

Fazendo $frac{1}{x_{1}}+frac{1}{x_{2}}$ :

$frac{1}{left(frac{5+sqrt{left{57 ight}}}{4} ight)}+frac{1}{left(frac{5-sqrt{left{57 ight}}}{4} ight)}$

$frac{4}{5+sqrt{57}}+frac{4}{5-sqrt{57}}$

$frac{4left(5-sqrt{57} ight)}{left(5+sqrt{57} ight)left(5-sqrt{57} ight)}+frac{4left(5+sqrt{57} ight)}{left(5-sqrt{57} ight)left(5+sqrt{57} ight)}$

$frac{4left(5-sqrt{57} ight)+4left(5+sqrt{57} ight)}{left(5+sqrt{57} ight)left(5-sqrt{57} ight)}$

$frac{4left(5-sqrt{57} ight)+4left(5+sqrt{57} ight)}{-32}$

$frac{40}{-32}=frac{-5}{4}$

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