Questão 76835

FGV 2019

Matemática

(Espm 2019) Se $x eq y$ são reais não negativos e $log(x^2+y^2)=2cdot log(x+y)$ , o valor de $x^y+y^x$ é igual a:

Gabarito:

Resolução:

Partindo das propriedades dos logaritmos:

$log_a^{b^c}=ccdot log_a^b$

Assim temos então:

$log(x^2+y^2)=log(x+y)^2$

Colocando os dois em uma potência de base 10:

$10^{log(x^2+y^2)}=10^{log(x+y)^2} ightarrow x^2+y^2=(x+y)^2$

$\x^2+y^2=x^2+2xy+y^2\ 0=2xy\ xy=0$

Sendo assim, ou x ou y são iguais a 0, e como queremos saber $x^y+y^x$ , temos 2 afirmações:

Se a base da potência é 0, será $0^n=0$ ;
Se o expoente é 0, temos que $n^0=1$

Sendo assim, independente de qual dos termos é 0, a soma será 0+1=1

Letra B

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