Questão 2

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questão 2)

A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta r : y = 5x − 13 , e um de seus catetos está contido na reta s : y = x − 1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da forma (k,5 ) sobre a reta s, determine

a) todos os vértices do triângulo;

b) a área do triângulo.

Gabarito:

Resolução:

a) Se o ponto (k,5) está sobre a reta S, podemos descobrir o valor de k:

$5=k-1 ightarrow k=6$

Vamos chamar a outra reta que faz esse triângulo de reta Z. A reta Z é perpedicular à reta S, sendo assim segue a seguinte propriedade:

$m_s=-frac{1}{m_Z}$

Com o coeficiente angular de S é 1, o de Z será -1. Como compartilham o ponto (6,5) podemos encontrar a equação de Z:

$y_Z-5=-1(x_z-6)\ y_Z=-x_Z+11$

Essa é a equação de Z. Agora para encontrar os vértices, basta encontrarmos os pontos de intersecção. Sabemos que um vértice é (6,5), que é onde S e Z se intersectam.

Ponto onde S e R se encontram:

$\5x-13=x-1\ 4x=12\ x=3\ y=3-1\ y=2\ (3,2)$

Ponto onde R e Z se encontram:

$\5x-13=-x+11\ 6x=24\ x=4\ y=-4+11\ y=7\ (4,7)$

Esses são os vértices.

b) A área do triângulo pode ser encontrada por meio dos pontos:

$A=frac{1}{2}cdot egin{Vmatrix} 6 &5 \ 3 &2 \ 4& 7\ 6& 5 end{Vmatrix} ightarrow frac{1}{2}cdotleft |(6cdot2)+(3cdot7)+(4cdot5)-(5cdot3)-(2cdot4)-(2cdot6) ight |$

$A=frac{1}{2}cdot|-12|=6$

$oxed{Resposta:left{egin{matrix} a); (3,2),(4,7),(6,5)\b); 6;u.m .; ; ;;;;;;;;;;;;;;,end{matrix} ight.}$

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