Questão 3

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 2a fase - Questão 3)

a) Calcule $cos : 3 heta$ em função de $sen : heta$ e de $cos : heta$ .

b) Calcule $sen : 3 heta$ em função de $sen : heta$ e de $cos : heta$ .

c) Para $0< heta<frac{pi}{2}$ , resolva a equação: $sen^{2} heta+frac{1}{2}cos heta+1=frac{sen3 heta}{sen heta}-frac{cos3 heta}{cos heta}$ .

Gabarito:

Resolução:

a) Temos que:

$\\cos(3 heta)=cos( heta+cos2 heta)$

Resolvendo:

$\cos( heta)cdot cos(2 heta)-sen( heta)cdot sen(2 heta)\ cos( heta)cdot(2cos^2( heta)-1)-sen( heta)cdot(2sen( heta)cos( heta))\ 2cos^3( heta)-cos( heta)-2sen^2( heta)cos( heta)\ cos( heta)(2cos^2( heta)-2sen^2( heta)-1)=cos(3 heta)$

b) Pelo mesmo raciocínio:

$\sen(3 heta)=sen( heta+2 heta)\sen( heta)cdot cos(2 heta)+sen(2 heta)cdot cos( heta)\ sen( heta)cdot(1-2sen^2( heta))+cos( heta)cdot(2sen( heta)cos( heta))\ sen( heta)-2sen^3( heta)+2sen( heta)cos^2( heta)\ sen( heta)(1-2sen^2( heta)+2cos^2( heta))=sen(3 heta)$

c) Agora vamos resolver a equação:

$sen^2( heta)+frac{1}{2}cdot cos( heta)+1=frac{sen(3 heta)}{sen( heta)}-frac{cos(3 heta)}{cos( heta)}$

Substituindo os valores de seno e cosseno que acabamos de calcular:

$frac{sen(3 heta)}{sen( heta)}-frac{cos(3 heta)}{cos( heta)}=frac{sen( heta)(1-2sen^2( heta)+2cos^2( heta))}{sen( heta)}-frac{cos( heta)(2cos^2( heta)-2sen^2( heta)-1)}{cos( heta)}$

$frac{sen(3 heta)}{sen( heta)}-frac{cos(3 heta)}{cos( heta)}=1-2sen^2( heta)+2cos^2( heta)-2cos^2( heta)+2sen^2( heta)+1=2$

Assim:

$sen^2( heta)+frac{1}{2}cdot cos( heta)+1=2\ 1-cos^2( heta)+frac{1}{2}cdot cos( heta)+1=2\ -cos^2( heta)+frac{1}{2}cdot cos( heta)=0\ -cos( heta)+frac{1}{2}=0\ cos( heta)=frac{1}{2}$

Como o intervalo de valores do ângulo é $0< heta< frac{pi}{2}$ , o valor do ângulo só pode ser:

$heta=frac{pi}{3}$

$oxed{Resposta: left{egin{matrix} cos(3 heta)=cos( heta)(2cos^2( heta)-2sen^2( heta)-1)\ sen(3 heta)= sen( heta)(1-2sen^2( heta)+2cos^2( heta))\ heta=frac{pi}{3} end{matrix} ight.}$

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