Questão 53

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 1a fase)

Se $tg heta = 2$ , então o valor de $frac{cos 2 heta }{1+ sen2 heta}$ é:

-3

-1/3

1/3

2/3

3/4

Gabarito:

-1/3

Resolução:

Primeiro vamos abrir as relações trigonométricas que temos para trabalharmos com arcos simples.

Sabemos que:

$\cos(2 heta)=cos^2( heta)-sen^2( heta)\ sen(2 heta)=2sen( heta)cos( heta)\ 1=cos^2( heta)+sen^2( heta)$

Agora substituindo isso na nossa equação:

$\frac{cos^2( heta)-sen^2( heta)}{cos^2( heta)+sen^2( heta)+2sen( heta)cos( heta)}\$

Podemos notar a presença de produtos notáveis! O quadrado da soma e o produto da soma pela diferença:

$\frac{[cos( heta)-sen( heta)][cos( heta)+sen( heta)]}{[cos( heta)+sen( heta)]^2} ightarrow frac{cos( heta)-sen( heta)}{cos( heta)+sen( heta)}$

Dividindo em cima e embaixo por $cos( heta)$ , teremos:

$frac{1-frac{sen) heta}{cos( heta)}}{1+frac{sen( heta)}{cos( heta)}}=frac{1-tg( heta)}{1+tg( heta)}$

Substituindo pelo valor que a questão nos dá:

$frac{1-2}{1+2} ightarrow frac{-1}{3}$

$oxed{Letra; B: -frac{1}{3}}$

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