Questão 56

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 1a fase)

O polinômio $x^{4}+x^{2}-2x+6$ admite $1+i$ como raiz, onde $i^{2} = -1$ . O número de raízes reais deste polinômio é:

Gabarito:

Resolução:

Temos um polinômio de grau 4, logo teremos 4 raízes. 1 delas é 1+i, logo, teremos como raiz também seu conjugado 1-i. As raízes são então:

$\1:1+i\ 2:1-i\ 3:x_3\ 4:x_4$

Precisamos descobrir x3 e x4 para saber se o polinômio admite raízes reais.

Podemos usar as relações de Girard (ou soma e produto para os mais íntimos) para descobrir isso:

$\x_1+x_2+x_3+x_4=frac{-b}{a}\\ x_1cdot x_2cdot x_3cdot x_4=frac{e}{a}$

Temos que a=1, b=0 e e=6, logo:

$\1+i+1-1+x_3+x_4=0\ 2+x_3+x_4=0 ightarrow x_3+x_4=-2\ (1+i)cdot (1-i)cdot x_3cdot x_4=6\ (1^2-i^2)cdot x_3 cdot x_4=6 ightarrow 2cdot x_3 cdot x_4=6 ightarrow x_3cdot x_4=3$

Podemos montar então um sistema:

$left{egin{matrix} x_3+x_4=-2\ x_3cdot x_4=3 end{matrix} ight.$

Resolvendo o sistema:

$\x_3=-2-x_4\ (-2-x_4)x_4=3\ -2x_4-x_4^2=3\ x_4^2+2x_4+3=0$

Resolvendo por Bhaskara:

$Delta= 4-4(1)(3)\ Delta=-8$

Temos que x4 não será real, uma vez que delta é menor que 0, sendo assim a raiz x3 também não será real. Logo, o polinômio não admite raízes reais.

$oxed{Letra; A:0}$

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