Questão 46

FUVEST 2001

Matemática

(FUVEST - 2001 - 1a fase)

A elipse $x^{2} + frac{y^{2}}{2} = frac{9}{4}$ e a reta $y = 2x + 1$ , do plano cartesiano, se interceptam nos pontos A e B. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento é:

(-2/3, -1/3)

(2/3, -7/3)

(1/3, -5/3)

(-1/3, 1/3)

(-1/4, 1/2)

Gabarito: (-1/3, 1/3)

Resolução:

Podemos substituir a expressão de y que temos na equação da elipse para encontrar os pontos comuns:

$x^2+frac{(2x+1)^2}{2}=frac{9}{4}$

Agora manipulamos matematicamente para que consigamos resolver a equação para x:

$\x^2+frac{(2x+1)^2}{2}=frac{9}{4}\\ 4x^2+2(4x^2+4x+1)=9\ 4x^2+8x^2+8x+2=9\ 12x^2+8x-8=0$

Podemos resolver agora por Bhaskara:

$\Delta=64-4(12)(-7)=64+336=400\\ frac{-8pmsqrt400}{2cdot12} ightarrow frac{-8pm20}{24}left{egin{matrix} x_1=frac{12}{24}=frac{1}{2}\\ x_2=frac{-28}{24}=-frac{7}{6} end{matrix} ight.$

Substituindo esses valores de x na equação da reta que temos:

$y=2(frac{1}{2})+1 ightarrow y=1+1 ightarrow y=2$

$y=2(frac{-7}{6})+1 ightarrow y=frac{-14}{6}+1 ightarrow y=frac{-7}{3}+frac{3}{3} ightarrow y=frac{-4}{3}$

Sendo assim os pontos são:

$\A=(frac{1}{2},2)\\ B=(frac{-7}{6},frac{-4}{3})$

A distância de A até B é:

Em x:

$frac{1}{2}-frac{-7}{6} ightarrow frac{3+7}{6}=frac{10}{6}=frac{5}{3}$

Metade da distância em x é $frac{5}{6}$ . O ponto médio em x corresponde é:

$frac{1}{2}-frac{5}{6}=frac{3-5}{6}=frac{-2}{6}=frac{-1}{3}$

Em y:

$2-frac{-4}{3} ightarrow frac{6+4}{3}=frac{10}{3}$

Metade da distância em y é $frac{5}{3}$ . O ponto médio em y é:

$2-frac{5}{3}=frac{6-5}{3}=frac{1}{3}$

Sendo assim o ponto médio de AB será:
${(-frac{1}{3},frac{1}{3})}$

$oxed{Letra; D:(-frac{1}{3},frac{1}{3})}$

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